Với số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^2 - n = 27\), trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\) số hạng không chứa \(x\) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 672

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

Ta có \(C_n^2 - n = 27\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} - n = 27\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 27\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 54 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 9\) hoặc \(n = - 6\).

Khi đó \({\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} .{x^k}.{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{9 - k}}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{2^{9 - k}}} .{x^{3k - 18}}\).

Số hạng không chứa \(x\) tức là \(3k - 18 = 0 \Leftrightarrow k = 6\).

Với \(k = 6\) thì hệ số của số hạng không chứa \(x\) là \(C_9^6{2^{9 - 6}} = 672\).