Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng chứa cạnh \(BC\) có phương trình \(5x - 3y + 1 = 0\). \(K\) là một điểm nằm trên đoạn thẳng \(AH\) sao cho \(\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} \).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Đường thẳng \(BC\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;5} \right)\).

b) Đường cao \(AH\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;5} \right)\).

Do đó phương trình đường cao \(AH\) là \(3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y + 7 = 0\).

c) Vì \(H = AH \cap BC\) suy ra tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y + 7 = 0\\5x - 3y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = - 7\\5x - 3y = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{{17}}\\y = - \frac{{16}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{{13}}{{17}}; - \frac{{16}}{{17}}} \right)\).

d) Giả sử \(K\left( {x;y} \right)\) nên \(\overrightarrow {AK} = \left( {x - 1;y + 2} \right),\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{13}}{{17}} - 1; - \frac{{16}}{{17}} + 2} \right)\).

Có \(\frac{3}{4}\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{90}}{{68}};\frac{{54}}{{68}}} \right) = \left( { - \frac{{45}}{{34}};\frac{{27}}{{34}}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - \frac{{45}}{{34}}\\y + 2 = \frac{{27}}{{34}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{11}}{{34}}\\y = - \frac{{41}}{{34}}\end{array} \right.\). Vậy \(K\left( { - \frac{{11}}{{34}}; - \frac{{41}}{{34}}} \right)\).