Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và điểm \(M\left( {2;5} \right)\) và hai đường thẳng \(d:12x - 5y + 13 = 0\) và \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và đi qua \(M\left( {2;5} \right)\) có bán kính \(R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

b) Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và có bán kính \(R = 2\sqrt 5 \) có phương trình là

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).

c) Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và tiếp xúc đường thẳng \(d:12x - 5y + 13 = 0\) có bán kính \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {12.\left( { - 2} \right) - 5.3 + 13} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = 2\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\).

d) Gọi \(K\) là tâm của đường tròn, ta có \(K \in \Delta \) và \(KI = KM = R\).

Vì \(K \in \Delta \Rightarrow K\left( {t; - t} \right)\).

Có \(K{I^2} = K{M^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( {3 + t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( {5 + t} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow - 4t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).

Suy ra đường tròn có tâm \(K\left( {4; - 4} \right)\) và bán kính \(R = KM = \sqrt {85} \) có phương trình:

\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 85\).