Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {8;2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) có diện tích nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\left( {a,b > 0} \right)\).

Do d đi qua \(M\left( {8;2} \right)\) nên ta có \(\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1\).

Mặt khác diện tích của tam giác vuông .

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{1 = \frac{8}{a} + \frac{2}{b} \ge 2\sqrt {\frac{8}{a} \cdot \frac{2}{b}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\frac{{16}}{{ab}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\frac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 8}\\{}&{\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab \ge 32}\end{array}\)

Ta có diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng 32 khi \(a,b\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{a} = \frac{2}{b}}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{{4b}} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{b = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 16}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Vậy phương trình đường thẳng (d): \(\frac{x}{{16}} + \frac{y}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 4x + 16y - 64 = 0\).