Câu hỏi:

27/03/2026 22

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \[BC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \(O\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \[ABC.\] Trên tia đối của tia \[MO\] lấy điểm \(D\) sao cho \[MD = MO\]. Trên tia đối của tia \[NO\] lấy điểm \(F\) sao cho \[NF = NO\]. Trên tia đối của tia \[PO\] lấy điểm \(E\) sao cho \[PE = PO\].

(a) Chứng minh \(\Delta ANO = \Delta BNF\), từ đó suy ra \[AO = BF\] và \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].

(b) Chứng minh hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.

(c) Chứng minh \(\Delta ABC{\rm{ = }}\Delta DEF\).

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh BC,AB,AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Trên tia đối của tia MO lấy điểm D sao cho MD=MO. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNF\) có:

\(\widehat {ANO} = \widehat {BNF} = 90^\circ \);

\(NA = NB\) (do \(N\) là trung điểm của \(AB\));

\(NO = NF\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ANO = \Delta BNF\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \[AO = BF\] (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {NAO} = \widehat {NBF}\) (hai góc tương ứng).

Lại có hai góc \(\widehat {NAO}\) và \(\widehat {NBF}\) ở vị trí so le trong nên \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (hai cạnh góc vuông).

Do đó \(AO = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \[AO = BF\] (câu a) nên \(BF = CE = AO\).

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

• \(AE = BD = CO\);

• \(AF = CD = BO\).

Mặt khác, \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác, hay \(OA = OB = OC\).

Do đó \[AF = FB = BD = DC = CE = EA = OA = OB = OC\] nên hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.

c) Ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (câu b) nên \(\widehat {PAO} = \widehat {PCE}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AO\,{\rm{//}}\,CE\).

Lại có \(AO\,{\rm{//}}\,BF\) (câu a) nên \(BF\,{\rm{//}}\,CE\).

Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (hai góc so le trong).

Xét \[\Delta BCF\] và \(\Delta EFC\) có:

\(BF = EC\) (câu b);

\(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (chứng minh trên);

\(FC\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta BCF = \Delta EFC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(BC = EF\) (hai cạnh tương ứng).

Tương tự ta cũng chứng minh được \(AB = DE\) và \(AC = DF\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:

\(AB = DE;AC = DF;BC = EF\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

(a) \(A\left( x \right) = 2x - 1\).

(b) \(B\left( x \right) = 3 - \frac{5}{6}x\).

(c) \(C\left( x \right) = {x^2} - 1\).

(d) \(D\left( x \right) = 8{x^3} + 27\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\) thì \(2x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\).

b) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\) thì \(3 - \frac{5}{6}x = 0\) nên \(\frac{5}{6}x = 3\) hay \(x = \frac{{18}}{5}\).

Vậy \(x = \frac{{18}}{5}\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

c) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) thì \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\) hay \(x = \pm 1\).

Vậy \(x = \pm 1\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).

d) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\) thì \(8{x^3} + 27 = 0\) nên \({x^3} = \frac{{ - 27}}{8}\) nên \(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(x = - \frac{3}{2}\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\).

Câu 2

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC,E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (c) DE song song với AB. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

Câu 3