Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

a) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\) thì \(2x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\).

b) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\) thì \(3 - \frac{5}{6}x = 0\) nên \(\frac{5}{6}x = 3\) hay \(x = \frac{{18}}{5}\).

Vậy \(x = \frac{{18}}{5}\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

c) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) thì \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\) hay \(x = \pm 1\).

Vậy \(x = \pm 1\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).

d) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\) thì \(8{x^3} + 27 = 0\) nên \({x^3} = \frac{{ - 27}}{8}\) nên \(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(x = - \frac{3}{2}\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\).

a) Trên tia đối của tia \[DA\] lấy điểm \[H\] sao cho \[DA = DH\].

• Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta HDC\] có

\[BD = CD\] (\[D\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {ADB} = \widehat {HDC}\] (đối đỉnh)

\[AD = HD\] (cách dựng)

Do đó \[\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AB = HC\] (hai cạnh tương ứng).

• Xét \[\Delta ACH\] có \[AC + HC > AH\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[AC + AB > 2AD\] hay \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

b) Ta có \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\] nên \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\].

Suy ra \[BG = \frac{2}{3}BE\,,\,\,CG = \frac{2}{3}CF\,,\,\,AG = \frac{2}{3}AD\].

Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\] hay \[BE + CF > \frac{3}{2}BC.\]

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác \[AGB\,,\,\,AGC\,,\,\,BGC\]:

• Xét \[\Delta AGB\] có \[AG + BG > AB\]. (1)

• Xét \[\Delta AGC\] có \[AG + CG > AC\]. (2)

• Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\]. (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

\[AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC\]

\[2AG + 2BG + 2CG > AB + AC + BC\]

\[\frac{4}{3}AD + \frac{4}{3}BE + \frac{4}{3}CF > AB + AC + BC\]

\[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF\].

Theo câu a) ta có \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

Chứng minh tương tự, ta có: \[BE < \frac{{AB + BC}}{2}\,;\,\,CF < \frac{{BC + AC}}{2}\].

Suy ra \[AD + BE + CF > \frac{{AB + AC}}{2} + \frac{{AB + BC}}{2} + \frac{{BC + AC}}{2}\].

Do đó \[AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Vậy \[\,\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].