Nhà bạn Nam dùng mật khẩu để mở cửa nhà. Do đãng trí nên Nam đi học về và quên mật khẩu, chỉ nhớ mật khẩu là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ. Tính xác suất Nam bấm 1 lần mở được cửa.

a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

\(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\)

\( = \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5\)

\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

Vậy \(M\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

b) • \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)\)

\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3\)

\[ = - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)\]

\[ = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\].

• \[B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5\]

\[ = {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

Vậy \[A\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\]; \[B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

c) Nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là

\(2x + 3 = 0\)

\(2x = - 3\)

\(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x = - \frac{3}{2}\).

d) Ta có \(B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8 = {x^4} + 2 \cdot \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{4} + \frac{{31}}{4}\)

\( = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0{\kern 1pt} \,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.

a) Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBD$ có:

$MA=MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB$0;

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh);

$MC=MD$ (giả thiết)

Do đó $\Delta MAC=\Delta MBD\left(\text{c}\text{.}\text{g}\text{.}\text{c}\right)$.

b) Do $\Delta MAC=\Delta MBD$ (câu a) nên $AC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta BCD$ có: BD+BC>CD (bất đẳng thức tam giác)

Do đó AC+BC>CD

Mà $CD=2CM$ (do $MD=MC$ nên $M$ là trung điểm của $CD$).

Vậy AC+BC>2CM.

c) Xét $\Delta ACD$ có đường trung tuyến $AM$ và $AK=\frac{2}{3}AM$ nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ACD$

Do đó $CK$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $AD$.

Xét $\Delta ABD$ có $DM,BN$ là hai đường trung tuyến và $DM,BN$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.

Do đó $DI=\frac{2}{3}DM$

Mà $DM=\frac{1}{2}CD$ nên $DI=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}CD$ hay $CD=3DI$.