Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).
(a) Chứng minh \(AM = \frac{{BC}}{2}\).
(b) Chứng minh rằng: Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(AB = \frac{{BC}}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy \(D\) sao cho \(MA = MD\) suy ra \(AM = \frac{{AD}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CMD\) có
\(AM = MD\) (theo cách vẽ)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (hai góc đối đỉnh)
\(BM = CM\) (gt)
Do đó \(\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\)
Suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Và \(\widehat {ABC} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)
Do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {DCM} + \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \).
• Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DCA\) có:
\(AB = CD\) (cmt)
\(\widehat {ABC} = \widehat {DCM}\) (cmt)
Cạnh \(AC\) chung
Do đó \(\Delta ABC = \Delta CDA\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).
Suy ra \(BC = AD\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai cạnh tương ứng).
Từ (1) và (2) suy ra \(AM = \frac{{BC}}{2}\).
b) Vì \(AM = \frac{{BC}}{2};\,\,BM = \frac{{BC}}{2}\) nên \(AM = BM\) suy ra \(\Delta ABM\,\) cân.
Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABM\) đều.
Do đó \[AB = AM = \frac{{BC}}{2}\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\] (tính chất tam giác đều).
Vậy \(AB = \frac{{BC}}{2}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Xét và có:
(do là trung điểm của 0;
(đối đỉnh);
(giả thiết)
Do đó .
b) Do (câu a) nên (hai cạnh tương ứng).
Xét có: (bất đẳng thức tam giác)
Do đó
Mà (do nên là trung điểm của ).
Vậy .
c) Xét có đường trung tuyến và nên là trọng tâm của
Do đó là đường trung tuyến nên là trung điểm của .
Xét có là hai đường trung tuyến và cắt nhau tại nên là trọng tâm của .
Do đó
Mà nên hay .
Lời giải
a) Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta CAD\) có \(\widehat {CAB} = \widehat {CAD} = 90^\circ \)
\(AD = AB\)
Cạnh \(CA\) chung
Do đó \(\Delta CAB = \Delta CAD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).
Suy ra \(CB = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Mặt khác \(BD = 2AB = 2 \cdot 3 = 6 = CB.\)
Do đó \(CB = CD = BD\).
Vậy tam giác \(BCD\) là tam giác đều.
b) Theo giả thiết \(CA = CM\) nên \(\Delta CAM\) cân tại \(C\).
Suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {CMA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACM}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).
• Xét \(\Delta AHM\) vuông ta có
\(\widehat {MAH} = 180^\circ - \widehat {AHM} - \widehat {AMH}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \).
• Xét \(\Delta AHB\) ta có
\(\widehat {HAB} = 180^\circ - \widehat {AHB} - \widehat {HBA}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Mặt khác \(\widehat {MAN} = \widehat {MAB} - \widehat {MAH}\)\( = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ \).
Do đó \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN} = 15^\circ \).
• Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAH\) có:
\(AN = AH\), \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN}\) và cạnh \(AM\) chung.
Do đó \(\Delta MAN = \Delta MAH\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).
Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \). Vậy \(MN \bot AB\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập