Cho hai đa thức: \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\);

\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức \(A\left( x \right)\).

(c) So sánh \(A\left( { - 1} \right)\) và \(B\left( 1 \right)\).

(d) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).

a) Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBD$ có:

$MA=MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB$0;

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh);

$MC=MD$ (giả thiết)

Do đó $\Delta MAC=\Delta MBD\left(\text{c}\text{.}\text{g}\text{.}\text{c}\right)$.

b) Do $\Delta MAC=\Delta MBD$ (câu a) nên $AC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta BCD$ có: BD+BC>CD (bất đẳng thức tam giác)

Do đó AC+BC>CD

Mà $CD=2CM$ (do $MD=MC$ nên $M$ là trung điểm của $CD$).

Vậy AC+BC>2CM.

c) Xét $\Delta ACD$ có đường trung tuyến $AM$ và $AK=\frac{2}{3}AM$ nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ACD$

Do đó $CK$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $AD$.

Xét $\Delta ABD$ có $DM,BN$ là hai đường trung tuyến và $DM,BN$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.

Do đó $DI=\frac{2}{3}DM$

Mà $DM=\frac{1}{2}CD$ nên $DI=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}CD$ hay $CD=3DI$.

a) Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta CAD\) có \(\widehat {CAB} = \widehat {CAD} = 90^\circ \)

\(AD = AB\)

Cạnh \(CA\) chung

Do đó \(\Delta CAB = \Delta CAD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \(CB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác \(BD = 2AB = 2 \cdot 3 = 6 = CB.\)

Do đó \(CB = CD = BD\).

Vậy tam giác \(BCD\) là tam giác đều.

b) Theo giả thiết \(CA = CM\) nên \(\Delta CAM\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {CMA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACM}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).

• Xét \(\Delta AHM\) vuông ta có

\(\widehat {MAH} = 180^\circ - \widehat {AHM} - \widehat {AMH}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \).

• Xét \(\Delta AHB\) ta có

\(\widehat {HAB} = 180^\circ - \widehat {AHB} - \widehat {HBA}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Mặt khác \(\widehat {MAN} = \widehat {MAB} - \widehat {MAH}\)\( = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ \).

Do đó \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN} = 15^\circ \).

• Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAH\) có:

\(AN = AH\), \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN}\) và cạnh \(AM\) chung.

Do đó \(\Delta MAN = \Delta MAH\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \). Vậy \(MN \bot AB\).