Thực hiện phép tính:

a) \(2x \cdot \left( {{x^2} - y + 1} \right)\).                                           b) \(\left( {x + y} \right)\left( { - {x^2} + xy - {y^2}} \right)\).

a) Xét tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat A = 90^\circ \); \(\widehat D = 90^\circ \) (vì \[HD\] vuông góc với \[AB\]).

\(\widehat E = 90^\circ \) (vì \[HE\] vuông góc với \[AC\])

 Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

b) Theo câu a tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật \(ADHE\) là hình vuông thì \(AH\) là tia phân giác của \(\widehat {DAE}\).

Hay \(AH\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\) mà \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\).

Nên \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \[A\].

Vậy \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \[A\] thì \(ADHE\) là hình vuông.

c) Kẻ \(MK \bot BC\) tại \[K\]; \(MI \bot AH\) tại \[I\].

Ta có\(AN = KN\) (vì chúng là đường trung tuyến ứng với cùng một cạnh huyền của hai tam giác vuông).

Khi đó \(\Delta ABH = \Delta MAI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AH = MI\) (hai cạnh tương ứng)

Tứ giác \(MIHMK\) là hình chữ nhật suy ra \(MI = HK\) hay \(AH = KH\).

Từ đó chứng minh được \(\Delta AHN = \Delta KHN\) (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {KHN}\) (hai góc tương ứng)

Do đó \(HN\) là tia phân giác của \(\widehat {AHC}\).