Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\). Từ \(H\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật.

b) Tìm điều kiện của \(\Delta ABC\) để tứ giác \(ADHE\) là hình vuông.

c) Giả sử \(AB < AC\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = AB\), gọi \(N\) là trung điểm của \(BM\). Chứng minh rằng \(HN\) là tia phân giác của \(\widehat {AHC}\).

a) Xét tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat A = 90^\circ \); \(\widehat D = 90^\circ \) (vì \[HD\] vuông góc với \[AB\]).

\(\widehat E = 90^\circ \) (vì \[HE\] vuông góc với \[AC\])

 Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

b) Theo câu a tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật \(ADHE\) là hình vuông thì \(AH\) là tia phân giác của \(\widehat {DAE}\).

Hay \(AH\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\) mà \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\).

Nên \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \[A\].

Vậy \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \[A\] thì \(ADHE\) là hình vuông.

c) Kẻ \(MK \bot BC\) tại \[K\]; \(MI \bot AH\) tại \[I\].

Ta có\(AN = KN\) (vì chúng là đường trung tuyến ứng với cùng một cạnh huyền của hai tam giác vuông).

Khi đó \(\Delta ABH = \Delta MAI\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AH = MI\) (hai cạnh tương ứng)

Tứ giác \(MIHMK\) là hình chữ nhật suy ra \(MI = HK\) hay \(AH = KH\).

Từ đó chứng minh được \(\Delta AHN = \Delta KHN\) (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {KHN}\) (hai góc tương ứng)

Do đó \(HN\) là tia phân giác của \(\widehat {AHC}\).