Cho hai đa thức: \(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\);

\(N\left( x \right) = 2x + 3\).

(a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Tính \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\) và \(B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)\).

(c) Tính nghiệm của \(N\left( x \right)\).

(d) Chứng minh \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.

Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia lao động trồng cây. Biết rằng số cây của lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt tỉ lệ với \[6\,;\,\,4\,;\,\,5\] và tổng số cây của hai lớp 7A, 7B trồng được nhiều hơn lớp 7C là \(50\) cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.

Trong một hộp bút bi có \(10\) bút bi, trong đó có 5 chiếc màu đen, 3 chiếc màu xanh và 2 chiếc màu đỏ. Không nhìn mà lấy ngẫu nhiên một chiếc từ trong hộp bút.

(a) Tính xác suất để lấy ra được chiếc bút màu xanh.

(b) Tính xác suất để lấy ra chiếc bút màu đỏ.

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19\,;\,\,20.\] Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

(a) A: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 25".

(b) B: "Số xuất hiện trên thẻ là số thập phân".

(e) E: "Số xuất hiện trên thẻ là số lẻ".

(c) C: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 20 ".

(f) F: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 4".

(d) D: "Số xuất hiện trên thẻ lớn hơn 17 ".

(g) G: "Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố".

(h) H: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia cho 3 dư 2".

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Chứng minh rằng:

(a) Biết \(AM \bot BC.\) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\). Chứng minh rằng \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).

(a) Chứng minh \(AM = \frac{{BC}}{2}\).

(b) Chứng minh rằng: Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(AB = \frac{{BC}}{2}\).

Một mảnh vườn hình vuông có cạnh bằng \(a{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và lối đi xung quanh vườn rộng \(1,2{\rm{ m}}\) như hình vẽ bên.

(a) Hãy viết biểu thức biểu thị phần diện tích còn lại của mảnh vườn.

(b) Tính diện tích phần còn lại của mảnh vườn khi \(a = 25,5.\)