Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Tìm \[x\], biết:

(a) \[\frac{x}{4} = \frac{{ - 1}}{3}\].

(b) \(\frac{{x + 1}}{5} = \frac{3}{4}\).

(c) \(\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}\);

(d) \(\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}\).

Tìm \[x,{\rm{ }}y\] biết:

(a) \(\frac{x}{y} = \frac{4}{5}\) và \[2x + y = 39.\]

(b) \(\frac{x}{7} = \frac{y}{3}\) và \(x - y = 8\).

(c) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và x + y = 14.

(d) \[5x = 7y\] và \[y--x = 10\].

Tìm \[x,\,\,y,\,\,z\] biết:

(a) \[\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}\] và \[3x + 7y + z = 144.\]

(b) \[x:y:z = 3:5:7\] và \[5x + y-2z = 40.\]

Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia lao động trồng cây. Biết rằng số cây của lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt tỉ lệ với \[6\,;\,\,4\,;\,\,5\] và tổng số cây của hai lớp 7A, 7B trồng được nhiều hơn lớp 7C là \(50\) cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.

Tùng, Huy và Minh cùng trồng hoa cúc trong chậu để bán dịp tết. Tùng trồng được 6 chậu hoa, Huy trồng được 4 chậu hoa và Minh trồng được 5 chậu hoa. Ba bạn bán hết hoa thu được tổng số tiền là \[1,5\] triệu đồng. Ba bạn quyết định chia tiền tỉ lệ với số chậu hoa trồng được. Tính số tiền mỗi bạn nhận được.

Ba xưởng may cần hoàn thành \[720\] bộ quần áo trong một khoảng thời gian nhất định. Xưởng A có 12 công nhân, xưởng B có 13 công nhân và xưởng C có 11 công nhân. Tính số bộ quần áo mỗi xưởng phải may biết mỗi công nhân đều may số bộ quần áo như nhau.

Tính giá trị của biểu thức:

(a) \(A = 2{x^2}y - 3xy\) tại \(x = - 2\) và \(y = 4\).

(b) \(B = \left( {2{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x - 1} \right)\) tại \(x = - 2\).

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

(a) \(A\left( x \right) = 2x - 1\).

(b) \(B\left( x \right) = 3 - \frac{5}{6}x\).

(c) \(C\left( x \right) = {x^2} - 1\).

(d) \(D\left( x \right) = 8{x^3} + 27\).

(e) \(E\left( x \right) = {x^2} + 2x\).

Cho \[f\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 2x - 1\] và \[g\left( x \right) = - {x^5} + 4x - 5{x^3} + 2 = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2.\]Tìm đa thức \[h\left( x \right)\] sao cho:

(a) \[f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)\].

(b) \[g\left( x \right) + h\left( x \right) = f\left( x \right)\].

Cho hai đa thức: \[f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11\];

\[g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)\].

(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức \[f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\] theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Tính tổng \[f\left( x \right) + g\left( x \right)\].

(c) Tính hiệu \[f\left( x \right) - g\left( x \right)\].

Cho hai đa thức: \(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\);

\(N\left( x \right) = 2x + 3\).

(a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Tính \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\) và \(B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)\).

(c) Tính nghiệm của \(N\left( x \right)\).

(d) Chứng minh \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.

Cho đa thức \(P\left( x \right) = - 2 - 3{x^4} - x - 5{x^3} + 10x - 17{x^2} + \frac{1}{2}{x^3} - 5 + {x^3}\).

(a) Thu gọn đa thức trên tồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức \(P\left( x \right)\). Tính \(P\left( { - 2} \right)\).

(c) Tìm đa thức \(Q\left( x \right)\) sao cho \(Q\left( x \right) - P\left( x \right) = 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\).

(d) Tìm đa thức dư trong phép chia \(P\left( x \right):\left( {2 - x} \right).\)

Một mảnh vườn hình vuông có cạnh bằng \(a{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và lối đi xung quanh vườn rộng \(1,2{\rm{ m}}\) như hình vẽ bên.

(a) Hãy viết biểu thức biểu thị phần diện tích còn lại của mảnh vườn.

(b) Tính diện tích phần còn lại của mảnh vườn khi \(a = 25,5.\)

Số lượng xe du lịch được bán ra tại một nước từ năm 1983 tới năm 1996 được mô tả theo công thức \(C = - 0,016{t^4} + 0,49{t^3} - 4,8{t^2} + 14t + 70\) (tính bằng đơn vị nghìn chiếc), trong khi đó thì số xe tải thì tính theo \(T = - 0,01{t^4} + 0,31{t^3} - 3{t^2} + 11t + 23\) với \(t\) là số năm tính từ 1983. Viết biểu thức biểu thị số xe (cả xe du lịch và xe tải) được bán ra trong khoảng thời gian nêu trên.

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19\,;\,\,20.\] Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

(a) A: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 25".

(b) B: "Số xuất hiện trên thẻ là số thập phân".

(e) E: "Số xuất hiện trên thẻ là số lẻ".

(c) C: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 20 ".

(f) F: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 4".

(d) D: "Số xuất hiện trên thẻ lớn hơn 17 ".

(g) G: "Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố".

(h) H: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia cho 3 dư 2".

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 1 lần.

(a) Viết tập hợp A gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2".

(b) Nêu các kết quả thuận lợi của biến cố gieo được mặt 5 chấm. Xác suất của biến cố gieo được mặt 5 chấm bằng bao nhiêu?

(c) Tính xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố.

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp \(\left\{ {2;3;5;7;8;9;10} \right\}\). Tính xác suất của biến cố:

(a) A: “Số được chọn là số nguyên tố”.

(b) B: “Số được chọn chia hết cho 2 và 5”.

Trong một hộp bút bi có \(10\) bút bi, trong đó có 5 chiếc màu đen, 3 chiếc màu xanh và 2 chiếc màu đỏ. Không nhìn mà lấy ngẫu nhiên một chiếc từ trong hộp bút.

(a) Tính xác suất để lấy ra được chiếc bút màu xanh.

(b) Tính xác suất để lấy ra chiếc bút màu đỏ.

Trong hộp có \(15\) thẻ gồm 5 thẻ có hình ngôi sao, 8 thẻ có hình vuông và 7 thẻ có hình bông hoa. Rút ngẫu nhiên một thẻ bất kì trong hộp.

(a) Tính xác suất cho biến cố “Thẻ rút ra là hình bông hoa”.

(b) Tính xác suất cho biến cố “Thẻ rút ra là hình vuông”.

(c) Tính xác suất cho biến cố “Thé rút ra có hình không phải là hình ngôi sao”.

Cho tam giác \(ABC\) đều, \[AB = 4\,\,{\rm{cm}}\]. Trên cạnh \[AC\] và cạnh \[BC\] lần lượt lấy các điểm \[M,{\rm{ }}N\] \[\left( M \right.\] và \[N\] không trùng với các đỉnh của \(\left. {\Delta ABC} \right)\) sao cho \[CM = BN.\]Gọi \[G\] là giao điểm của \[AN\] và \[BM\].

(a) Kẻ \[CH\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\]. Tính \[CH\].

(b) Chứng minh\[AN = BM\]. Tính \[\widehat {AGM}\].

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).

(a) Chứng minh \(AM = \frac{{BC}}{2}\).

(b) Chứng minh rằng: Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(AB = \frac{{BC}}{2}\).

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm sao cho \(CM = CA\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = AH\). Biết \(AB = 3\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 6\,\,{\rm{cm}}\).

(a) Tính độ dài cạnh \(AC\).

(b) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AB\). Chứng minh tam giác \(BCD\) đều.

(c) Chứng minh \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN}\) và \(MN \bot AB\).

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Chứng minh rằng:

(a) Biết \(AM \bot BC.\) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\). Chứng minh rằng \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường phân giác \[BD{\rm{ }}(D \in AC).\] Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC.\]

(a) Chứng minh \[\Delta ABD = \Delta HBD.\]

(b) So sánh \[AD\] và \[DC.\]

(c) Gọi \[K\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và \[DH,{\rm{ }}I\] là trung điểm của \[KC.\] Chứng minh ba điểm \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Cho \[\Delta ABC\] có ba đường trung tuyến \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\]. Chứng minh rằng:

(a) \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\];

(b) \[BE + CF > \frac{3}{2}BC\];

(c) \[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB},\) trung tuyến \[AM\]. Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[C\] là trung điểm của \[MD\]. Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[E\] sao cho \(BE = BA.\) Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[N\] sao cho \(MN = MA\).

(a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta NMC\) và \[CN \bot CA\].

(b) Gọi \[I\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

(c*) So sánh \[AD\] và \[BC\].

Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Lấy điểm \(D\) trên cạnh \(AC\), điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(BD = CE\).

(a) Chứng minh \(AD = AE\) và \(\Delta ABE = \Delta ACD\).

(b) Chứng minh \[\Delta ABI = \Delta ACI\], từ đó suy ra \[AI\] là đường phân giác của góc \[BAC\].

(c) Tìm vị trí của hai điểm \[D\] và \[E\] sao cho \[BD = DE = EC\]. Khi đó tìm vị trí của điểm \(I\).

Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Kẻ \[AH \bot BC\] tại \(H\).

(a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\), từ đó suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).

(b) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(E\) sao cho \[AB = BE\]. Gọi \(I\) là trung điểm của \[EC,\]\[BC\] cắt \[AI\] tại \[M\]. Chứng minh \[2BH = 3BM\] và tính độ dài \[BM\] biết \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\].

(c) Chứng minh \[AB + AC > 6HM\].

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \[BC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \(O\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \[ABC.\] Trên tia đối của tia \[MO\] lấy điểm \(D\) sao cho \[MD = MO\]. Trên tia đối của tia \[NO\] lấy điểm \(F\) sao cho \[NF = NO\]. Trên tia đối của tia \[PO\] lấy điểm \(E\) sao cho \[PE = PO\].

(a) Chứng minh \(\Delta ANO = \Delta BNF\), từ đó suy ra \[AO = BF\] và \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].

(b) Chứng minh hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.

(c) Chứng minh \(\Delta ABC{\rm{ = }}\Delta DEF\).

Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 1\) với \(x\) bất kì và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tìm \(f\left( x \right)\).

Cho đa thức \(f\left( x \right) = {\left( {1 - 5x + 3{x^2}} \right)^{2017}}\). Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức \(f\left( x \right)\) sau khi đã bỏ ngoặc.

Cho đa thức \[f\left( x \right)\] thỏa mãn: \(x \cdot f\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right) \cdot f\left( x \right)\), với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Chứng minh đa thức \[f\left( x \right)\] có ít nhất hai nghiệm.

Tìm \(a,b\) để đa thức \(A\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(B\left( x \right) = {x^2} - x - 2\).

Cho đa thức \(A\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Biết \(A\left( x \right)\) nhận \( - 1\) làm nghiệm và \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\). Chứng minh \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.

Cho \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) \(\left( {a,\,\,c \ne 0\,;\,\,a \ne b\,;\,\,b \ne c} \right)\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\).

(a) Tìm \(x\,,\,\,y\) biết: \(\left| {x - 2023y} \right| + {\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0\).

(b) Tính giá trị của \(P\left( x \right) = 3{x^3} + 4{x^2} - 8x + 1\), biết \({x^2} + x - 3 = 0\).

Tính \(A = xy + {x^2}{y^2} + {x^4}{y^4} + {x^6}{y^6} + ... + {x^{2016}}{y^{2016}} + {x^{2018}}{y^{2018}}\) tại \(x = - 2,\,\,y = \frac{1}{2}\).

Nhà bạn Nam dùng mật khẩu để mở cửa nhà. Do đãng trí nên Nam đi học về và quên mật khẩu, chỉ nhớ mật khẩu là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ. Tính xác suất Nam bấm 1 lần mở được cửa.

Trong một hộp kín có chứa 10 bông hoa hồng đỏ, 20 hoa hồng vàng và \(n\) bông hoa hồng xanh. Lấy ngẫu nhiên một bông hoa trong hộp kính. Biết xác suất lấy được hoa hồng xanh là \(\frac{4}{{10}}\). Tính số hoa hồng xanh có trong hộp.

Trong một hộp thưởng có chứa 5 quả bóng màu xanh, 20 quả bóng trắng, \(n\) quả bóng màu cầu vồng, các quả bóng cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Biết xác suất lấy được quả bóng màu cầu vồng là \(\frac{3}{4}\). Tính số quả bóng màu cầu vồng.

Trên một công trường xây dựng, do cải tiến kỹ thuật nên năng suất lao động của công nhân tăng \(25\% \). Hỏi nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm bao nhiêu phần trăm?

Gạo được chứa trong ba kho theo tỉ lệ \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{5}\). Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn trong kho thứ nhất là \(43,2\) tấn. Sau 1 tháng, người ta tiêu thụ ở kho thứ nhất \(40\% \) và ở kho thứ hai \(30\% \) và ở kho thứ ba là 25% số gạo có trong mỗi kho. Hỏi trong một tháng đã tiêu thụ được bao nhiêu tấn gạo?

Nhà trường dự định chia vở cho ba lớp 7A, 7B, 7C theo tỉ lệ \(7;6;5\). Nhưng vì có sự thay đổi nên phải chia lại theo tỉ lệ \(6;5;4\). Như vậy có lớp đã nhận được ít hơn dự định 12 quyển. Tính số vở mỗi lớp đã nhận được trong thực tế.

Một chuyến xe buýt có \(17\) hành khách nam và \(12\) hành khách nữ. Đến một bến xe, có 3 hành khách nữ và một số hành khách nam xuống xe. Chọn ngẫu nhiên một hành khách còn lại trên xe. Biết rằng xác suất để chọn được một hành khách nam là \(\frac{1}{2}.\)Hỏi có bao nhiêu hành khách nam đã xuống xe?