Câu hỏi:

28/03/2026 158

Cho \[\Delta ABC\] có ba đường trung tuyến \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\]. Chứng minh rằng:

(a) \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\];

(b) \[BE + CF > \frac{3}{2}BC\];

(c) \[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ΔABC có ba đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: (a) AD<AB+AC/2; (b) BE+CF>3/2BC; (ảnh 1)

a) Trên tia đối của tia \[DA\] lấy điểm \[H\] sao cho \[DA = DH\].

• Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta HDC\] có

\[BD = CD\] (\[D\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {ADB} = \widehat {HDC}\] (đối đỉnh)

\[AD = HD\] (cách dựng)

Do đó \[\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AB = HC\] (hai cạnh tương ứng).

• Xét \[\Delta ACH\] có \[AC + HC > AH\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[AC + AB > 2AD\] hay \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

b) Ta có \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\] nên \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\].

Suy ra \[BG = \frac{2}{3}BE\,,\,\,CG = \frac{2}{3}CF\,,\,\,AG = \frac{2}{3}AD\].

Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\] hay \[BE + CF > \frac{3}{2}BC.\]

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác \[AGB\,,\,\,AGC\,,\,\,BGC\]:

• Xét \[\Delta AGB\] có \[AG + BG > AB\]. (1)

• Xét \[\Delta AGC\] có \[AG + CG > AC\]. (2)

• Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\]. (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

\[AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC\]

\[2AG + 2BG + 2CG > AB + AC + BC\]

\[\frac{4}{3}AD + \frac{4}{3}BE + \frac{4}{3}CF > AB + AC + BC\]

\[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF\].

Theo câu a) ta có \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

Chứng minh tương tự, ta có: \[BE < \frac{{AB + BC}}{2}\,;\,\,CF < \frac{{BC + AC}}{2}\].

Suy ra \[AD + BE + CF > \frac{{AB + AC}}{2} + \frac{{AB + BC}}{2} + \frac{{BC + AC}}{2}\].

Do đó \[AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Vậy \[\,\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC,E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

Câu 2

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Chứng minh rằng:

(a) Biết \(AM \bot BC.\) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\). Chứng minh rằng \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD,CE cắt nhau ở H, AH cắt BC tại M. Chứng minh rằng: (a) Biết AM⊥BC. Chứng minh ˆBAM=ˆECB. (ảnh 1)

a) Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét tam giác \(BAM\) ta có

\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)

Xét tam giác \(BCE\) ta có

\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

b) Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có

\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Câu 3