Câu hỏi:

28/03/2026 303

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB},\) trung tuyến \[AM\]. Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[C\] là trung điểm của \[MD\]. Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[E\] sao cho \(BE = BA.\) Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[N\] sao cho \(MN = MA\).

(a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta NMC\) và \[CN \bot CA\].

(b) Gọi \[I\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

(c*) So sánh \[AD\] và \[BC\].

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆABC>ˆACB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có

\[MC = MB\] (gt)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (hai góc đối đỉnh)

\[MA = MN\] (gt)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\] (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong \(CN\,{\rm{//}}\,AB\).

Mà \[BA \bot CA\] nên \[CN \bot CA\].

b) Vì \[B\] là trung điểm của \[AE\] nên \[DB\] là đường trung tuyến của \(\Delta DAE\).

Ta có \[DC = CM,\,\,CM = MB\] nên \[DM = \frac{2}{3}DB\].

Do đó \[M\] là trọng tâm của \[\Delta DAE\]

Vì \[I\] là trung điểm của \[DE\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DAE\].

Mà \[M \in AI\] nên ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

c*) Vì \[\Delta AMB = \Delta NMC\] (cmt) nên \[AB = NC\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta ACN\] và \[\Delta CAB\] có

Cạnh \[CA\] chung ; \[\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ \], \[CN = AB\] (cmt)

Do đó \[\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

Suy ra \[AN = BC\] (hai cạnh tương ứng)

Nên \[\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\] hay \[AM = MC = MB\].

Do đó \[\Delta AMC\] và \[\Delta AMB\] cân tại \[M.\]

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• \[\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}\]

• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]

Vì \[\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {AMB} < \widehat {AMC}\].

Mà \[\widehat {AMB}\] và \[\widehat {AMC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AMC}\] là góc tù.

Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {AMD}\] là góc tù nên \[\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.\]

Suy ra \[AD > MD\] (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Lại có \[MB = MC = CD\] nên \[MB + MC = MC + CD\].

Do đó \[BC = MD\] (đpcm).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC,E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

Câu 2

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Chứng minh rằng:

(a) Biết \(AM \bot BC.\) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\). Chứng minh rằng \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD,CE cắt nhau ở H, AH cắt BC tại M. Chứng minh rằng: (a) Biết AM⊥BC. Chứng minh ˆBAM=ˆECB. (ảnh 1)

a) Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét tam giác \(BAM\) ta có

\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)

Xét tam giác \(BCE\) ta có

\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

b) Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có

\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Câu 3