Câu hỏi:

28/03/2026 272

Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Kẻ \[AH \bot BC\] tại \(H\).

(a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\), từ đó suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).

(b) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(E\) sao cho \[AB = BE\]. Gọi \(I\) là trung điểm của \[EC,\]\[BC\] cắt \[AI\] tại \[M\]. Chứng minh \[2BH = 3BM\] và tính độ dài \[BM\] biết \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\].

(c) Chứng minh \[AB + AC > 6HM\].

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH⊥BC tại H. (a) Chứng minh ΔAHB=ΔAHC, từ đó suy ra H là trung điểm của BC. (b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AB=BE. Gọi I là trung điểm của EC,BC (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(AB = AC\) (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\))

\(AH\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(BC\).

b) • Xét \(\Delta AEC\) có \(AI,CB\) là hai đường trung tuyến của tam giác và \(AI,CB\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\) là trọng tâm của \(\Delta AEC\).

Do đó \(BM = \frac{1}{3}BC\)

Mà \(BC = 2BH\) (do \(H\) là trung điểm của \(BC\)).

Suy ra \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) hay \(2BH = 3BM\).

• Ta có \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

c) Ta có \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) suy ra \(HM = BH - BM = BH - \frac{2}{3}BH = \frac{1}{3}BH\)

Do đó \(HM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{6}BC\) hay \(6HM = BC\).

Xét \(\Delta ABC\) ta có \(AB + AC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra \(AB + AC > 6HM\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC,E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

Câu 2

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Chứng minh rằng:

(a) Biết \(AM \bot BC.\) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\). Chứng minh rằng \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD,CE cắt nhau ở H, AH cắt BC tại M. Chứng minh rằng: (a) Biết AM⊥BC. Chứng minh ˆBAM=ˆECB. (ảnh 1)

a) Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét tam giác \(BAM\) ta có

\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)

Xét tam giác \(BCE\) ta có

\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

b) Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có

\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

Câu 3