Để trở thành một tam giác vuông thì có độ dài ba cạnh có thể là

\(M = {n^3}{\left( {{n^2} - 7} \right)^2} - 36n = n\left[ {{n^2}{{\left( {{n^2} - 7} \right)}^2} - 36} \right]\)

\( = n\left[ {n\left( {{n^2} - 7} \right) - 6} \right]\left[ {n\left( {{n^2} - 7} \right) + 6} \right]\)

\( = n\left( {{n^3} - 7n - 6} \right)\left( {{n^3} - 7n + 6} \right)\)

\( = n\left( {{n^3} - n - 6n - 6} \right)\left( {{n^3} - n - 6n + 6} \right)\)

\[ = n\left[ {n\left( {{n^2} - 1} \right) - 6\left( {n + 1} \right)} \right]\left[ {n\left( {{n^2} - 1} \right) - 6\left( {n - 1} \right)} \right]\]

\[ = n\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n + 1} \right)} \right]\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n - 1} \right)} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {n\left( {n - 1} \right) - 6} \right]\left[ {n\left( {n + 1} \right) - 6} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {{n^2} - n - 6} \right]\left[ {{n^2} + n - 6} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {{n^2} + 2n - 3n - 6} \right]\left[ {{n^2} - 2n + 3n - 6} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {n\left( {n + 2} \right) - 3\left( {n + 2} \right)} \right]\left[ {n\left( {n - 2} \right) + 3\left( {n - 2} \right)} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 3} \right)\]

Mà \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n - 2} \right)\) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên \(M\) chia hết cho 7 với mọi số nguyên \(n.\)

1) \(A = 4{x^2} - 4xy + {y^2}\)

\( = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.y + {y^2}\)

\( = {\left( {2x - y} \right)^2}.\)

Thay \(x = 4,5;\) \(y = - 1\) vào \(A,\) ta được: \(A = {\left( {2.4,5 + 1} \right)^2} = 100.\)

Vậy, \(A = 100\) tại \(x = 4,5;y = - 1.\)

b) \(B = {102^3} - {6.102^2} + 12.102 - 8\)

\( = {102^3} - {3.102^2}.2 + {3.102.2^2} - {2^3}\)

\( = {\left( {102 - 2} \right)^3}\)

\( = {100^3}\)

\( = 1\,\,000\,\,000.\)