Cho tam giác cân \(ABC\) tại \(A,\) có \(BH\) và \(CK\) là hai đường cao của tam giác.

1) Chứng minh \(\Delta AKH\) cân.

2) Chứng minh tứ giác \(BCHK\) là hình thang cân.

3) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BH\) và \(CK.\) Chứng minh \(AI\) là trung trực của đoạn \(BC.\)

\(M = {n^3}{\left( {{n^2} - 7} \right)^2} - 36n = n\left[ {{n^2}{{\left( {{n^2} - 7} \right)}^2} - 36} \right]\)

\( = n\left[ {n\left( {{n^2} - 7} \right) - 6} \right]\left[ {n\left( {{n^2} - 7} \right) + 6} \right]\)

\( = n\left( {{n^3} - 7n - 6} \right)\left( {{n^3} - 7n + 6} \right)\)

\( = n\left( {{n^3} - n - 6n - 6} \right)\left( {{n^3} - n - 6n + 6} \right)\)

\[ = n\left[ {n\left( {{n^2} - 1} \right) - 6\left( {n + 1} \right)} \right]\left[ {n\left( {{n^2} - 1} \right) - 6\left( {n - 1} \right)} \right]\]

\[ = n\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n + 1} \right)} \right]\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 6\left( {n - 1} \right)} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {n\left( {n - 1} \right) - 6} \right]\left[ {n\left( {n + 1} \right) - 6} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {{n^2} - n - 6} \right]\left[ {{n^2} + n - 6} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {{n^2} + 2n - 3n - 6} \right]\left[ {{n^2} - 2n + 3n - 6} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left[ {n\left( {n + 2} \right) - 3\left( {n + 2} \right)} \right]\left[ {n\left( {n - 2} \right) + 3\left( {n - 2} \right)} \right]\]

\[ = n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 3} \right)\]

Mà \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n - 2} \right)\) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên \(M\) chia hết cho 7 với mọi số nguyên \(n.\)