Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = 1,AC = 2\). Biết rằng góc phẳng nhị diện \(\left[ {C,AB,C'} \right]\) bằng \(60^\circ \). Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC\).

b) Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot AB\), mà \(AC \bot AB\) (1).

Suy ra \(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AC' \bot AB\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {C'AC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {C,AB,C'} \right]\) và \(\widehat {C'AC} = 60^\circ \).

Tam giác \(ACC'\) vuông tại \(C\) có: \(\tan \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC}} \Rightarrow CC' = 2\sqrt 3 \).

c) Thể tích khối lăng trụ đã cho là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A \cdot {S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt 3  \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 2\sqrt 3 {\rm{  }}\)(đơn vị thể tích).

d) Dễ thấy \(CC' \bot (ABC)\) và \(CC' = \left( {ACC'} \right) \cap \left( {B'CC'} \right)\) nên \(\widehat {ACB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CC',B'} \right]\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 26,57^\circ \).