Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 1,AD = \sqrt 3 \), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) bằng \(\frac{3}{2}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,73

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) (do \(\Delta SAB\) đều).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB//CD\)\( \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\).

Khi đó \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\).

Hạ \(HI \bot SK\)  (1).

Dễ chứng minh \(CD \bot \left( {SHK} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot HI\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(HI \bot \left( {SCD} \right)\). Do đó \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI = \frac{3}{2}\).

Xét \(\Delta SHK\) vuông tại \(H\), có \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}}\)\( \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} - \frac{1}{{H{K^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \Rightarrow SH = 3\).

Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3.1.\sqrt 3  = \sqrt 3  \approx 1,73\).