Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \). Khi đó

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ABD} \right)\).

b) Khi đó \(AD\) là hình chiếu của \(CD\) trên \(\left( {ABD} \right)\).

Ta có \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CD,AD} \right) = \widehat {CDA}\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {CDA} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CDA} = 30^\circ \).

Vậy \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = \widehat {CDA} = 30^\circ \).

c) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\) (do \(AB = AC\)).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot DM\).

Khi đó \(\left( {AM,DM} \right) = \widehat {AMD}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,BC,D} \right]\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường cao \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {AMD} = \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 6  \Rightarrow \widehat {AMD} \approx 67,79^\circ \).

d) Vì \(AB \bot AC,AB \bot AD\)nên \(\left( {AC,AD} \right) = \widehat {CAD}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\) và \(\widehat {CAD} = 90^\circ .\)