Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = 1,\widehat {ACB} = 30^\circ \). Biết \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Vì \(AH \bot SB\) nên \(d(A,SB) = AH\).

b) Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2 \cdot 1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(BI \bot AC\) tại \(I\).

Mặt khác \(BI \bot SA\) (do \(SA \bot (ABC),BI \subset (ABC)\)).

Vì vậy \(BI \bot (SAC)\) hay \(d(B,(SAC)) = BI\).

Tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) có:\(\sin \widehat {BAC} = \frac{{BI}}{{AB}}\)\( \Rightarrow BI = AB \cdot \sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d(B,(SAC)) = BI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} = \sqrt 3 \).

d) Diện tích đáy hình chóp là: \(S = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Chiều cao hình chóp \(h = SA = 2\).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 2 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)(đơn vị thể tích).