Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D',\) có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \[a\], tâm \[O\] và \[\widehat {ABC} = 120^\circ \]. Góc giữa cạnh bên \[AA'\] và mặt đáy bằng \[60^\circ \]. Đỉnh \[A'\] cách đều các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D\]. Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.
A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{2}\).
B.\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(V = {a^3}\sqrt 3 \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ giả thiết suy ra tam giác \[ABD\] đều cạnh \[a\].
Gọi \(H\) là tâm tam giác \(ABD\). Vì \[A'\] cách đều các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}D\] nên \(A'H \bot \left( {ABD} \right)\).
Do đó \(60^\circ = \left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AA',HA} \right) = \widehat {A'AH}\).
Ta có \(AH = \frac{2}{3}AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Tam giác vuông \(A'AH\), có \(A'H = AH.\tan \widehat {A'AH} = a\).
Diện tích hình thoi \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\frac{{\sqrt {57} a}}{3}\].
B. \[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\].
C. \[\frac{{2\sqrt {57} a}}{3}\].
D. \[\frac{{\sqrt {57} a}}{{12}}\].
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SM\)
Do \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(AM \bot BC\)và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAM} \right).\]
\[ \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\), có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}.\]Câu 2
A. \(AC \bot \left( {SDO} \right)\).
B. \(AM \bot \left( {SDO} \right)\).
C. \(SA \bot \left( {SDO} \right)\).
D. \(AN \bot \left( {SDO} \right)\).
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \supset AN \Rightarrow AN \bot BD\).
Theo giả thiết: \(AN \bot SO\).
Vậy \(AN \bot \left( {SDO} \right)\).
Câu 3
A. \[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
B. \[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
C. \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].
D. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[60^\circ \].
B. \[45^\circ \].
C. \[30^\circ \].
D. \[75^\circ \].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
B. \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
C. \(IJ \bot \left( {SBD} \right)\).
D. \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(a\).
B. \[\frac{{\sqrt 6 a}}{2}\].
C. \[\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\].
D. \[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập