Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], \[\Delta ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\), \[SA = 2a\]. Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \supset AN \Rightarrow AN \bot BD\).

Theo giả thiết: \(AN \bot SO\).

Vậy \(AN \bot \left( {SDO} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Có \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).

Ta có \(SO \bot BD,AO \bot BD\) nên góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(\widehat {SOA}\)

Xét tam giác vuông \(SOA\) có \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{6};OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Nên \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{OA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), suy ra góc \(\widehat {SOA} = 30^\circ \).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(30^\circ \).