Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh bên \(SB\) và \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SO\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SM\)

Do \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(AM \bot BC\)và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAM} \right).\]

\[ \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \[H\] là trung điểm của \[B'C'\]

\[ \Rightarrow AH \bot B'C'\] (do \[\Delta AB'C'\] cân tại \[A\]) và \[A'H \bot B'C'\](do \[\Delta A'B'C'\]đều).

Suy ra \[\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AH,A'H} \right) = \widehat {AHA'}\].

Vì \[\Delta A'B'C'\] đều cạnh \(a\) nên \(A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta AA'H\)vuông tại \(A'\), có \[\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].