Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là nửa lục giác đều với cạnh \(a\). Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). \(M\) là một điểm khác \(B\) và ở trên \(SB\)sao cho \(AM\) vuông góc với \(MD\). Tính tỉ số \(\frac{{SM}}{{SB}}\) (kết quả viết dưới dạng thập phân).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,84

Ta có \(AC \cap BD\) tại \(O\) mà \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có \(AC \cap \left( {SBD} \right) = O\)\( \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AO}}{{CO}} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).

Hạ \(AK \bot BD\) mà \(BD \bot SA\) nên \(BD \bot \left( {SAK} \right)\).

Hạ \(AI \bot SK\) (1).

Mà \(BD \bot \left( {SAK} \right)\)\( \Rightarrow AI \bot BD\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AI \bot \left( {SBD} \right)\). Do đó \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI\).

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow AK = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vì \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) và có diện tích \(S = 3\) nên \(SA = \frac{{2.S}}{{AD}} = \frac{{2.3}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SAK\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{12}} + \frac{4}{3} = \frac{{17}}{{12}}\)\( \Rightarrow AI = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}} \approx 0,84\).