Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{ax - 2}}\left( {ab \ne  - 2} \right)\). Biết rằng \(a,b\) là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\). Khi đó giá trị của \(a - 3b\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2

Ta có \(d:3x + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow y =  - 3x + 4\); \(y' = \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\) nên \(y'\left( 1 \right) =  - 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow  - 2 - ab =  - 3{\left( {a - 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow  - 3{a^2} + 12a + ab - 10 = 0\) (1).

Mà \(y\left( 1 \right) =  - 2\) nên \(\frac{{1 + b}}{{a - 2}} =  - 2\)\( \Leftrightarrow  - 2a - b + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow b =  - 2a + 3\) (2).

Thay (2) vào (1), ta có \( - 3{a^2} + 12a + a\left( { - 2a + 3} \right) - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 5{a^2} + 15a - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a = 2\).

Với \(a = 1\) thì \(b = 1\) \( \Rightarrow a - 3b = 1 - 3.1 =  - 2\).

Với \(a = 2\) thì \(b =  - 1\) (loại vì \(ab \ne  - 2\)).