Vẽ góc \(xOy\) có số đo bằng \(55^\circ .\) Sau đó vẽ tia \(Ox'\) là tia đối của tia \(Ox,\) vẽ tia \(Oy'\) là tia đối của tia \(Oy.\)

a) Kể tên tất cả bốn góc có đỉnh \(O\) (không kể góc bẹt). Trong các góc đó góc nào là góc nhọn, góc nào là góc tù?

b) Lấy điểm \(A\) nằm trên tia \(Ox\) sao cho \(OA = 3{\rm{\;cm}},\) điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox'\) sao cho \(OB = 3{\rm{\;cm}}.\) Hỏi \(O\) có là trung điểm của \(AB\) hay không?

Hướng dẫn giải:

Những âm thanh từ 85 dB trở lên là: máy sấy tóc, nhạc rock, máy cưa, búa khoan. Vậy đó là những âm thanh chúng ta nên tránh hoặc hạn chế tiếp xúc.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}};\]

 \[\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}};\]

 \[\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} < \frac{1}{{3 \cdot 4}};\]

 \[........................\]

\[\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} < \frac{1}{{98 \cdot 99}}.\]

Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{98 \cdot 99}}\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{99}}\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{{99}}\)

\(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{{98}}{{99}} < 1\)

Do đó \[S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có: \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}};\)

 \(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} > \frac{1}{{3 \cdot 4}};\)

 \(\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} > \frac{1}{{4 \cdot 5}};\)

 \(........................\)

 \(\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} > \frac{1}{{99 \cdot 100}}.\)

Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\)

 \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\)

 \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}\)

 \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}{\rm{    }}\)

Do đó \(S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\frac{{49}}{{100}} < S < 1.\)