Ông An muốn làm một tấm phủ che hồ bơi, ông cần tính độ rộng của hồ bơi (độ dài \[AB)\] nhưng ông chỉ đo được độ dài của một phần hồ bơi (đoạn \[EF)\] là \[4,5\] m. Biết \[E,{\rm{ }}F\] lần lượt là trung điểm của \[AC,{\rm{ }}BC.\] Em hãy tính độ rộng của hồ bơi (độ dài đoạn \[AB)\] giúp ông An.

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {NAP} = 90^\circ .\)

Vì \(MN \bot AB\) nên \(\widehat {MNA} = 90^\circ .\)

Vì \(MP \bot AC\) nên \(\widehat {MPA} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(ANMP\) có:

\(\widehat {NAP} = \widehat {MNA} = \widehat {MPA} = 90^\circ .\)

Do đó tứ giác \[AMNB\] là hình chữ nhật.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \[BK\] và \[HN.\]

Vì \(MK\,{\rm{//}}\,AH\) và \(AH \bot BC\) nên \(MK \bot BC.\)

Xét \(\Delta KBC\) có \(KM\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyên nên \(\Delta KBC\) cân tại \(K.\) Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {KCB},\) hay \[\widehat {IBH} = \widehat {ACB}.\]

Xét \(\Delta ABC\) có \(MN\,{\rm{//}}\,AC\) (cùng vuông góc với \(AB)\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác.

Do đó \(N\) là trung điểm của \(AB,\) nên \(NA = NB = \frac{1}{2}AB.\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có đường trung tuyến \(HN\) nên \(NH = \frac{1}{2}AB.\)

Suy ra \(NA = NB = NH = \frac{1}{2}AB.\) Do đó \(\Delta NBH\) cân tại \(N,\) nên \[\widehat {NHB} = \widehat {NBH},\] hay \[\widehat {IHB} = \widehat {ABC}.\]

Xét \(\Delta IBH\) có \(\widehat {BIH} + \widehat {IBH} + \widehat {IHB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác)

Suy ra \(\widehat {BIH} = 180^\circ - \left( {\widehat {IBH} + \widehat {IHB}} \right) = 180^\circ - \left( {\widehat {ACB} + \widehat {ABC}} \right)\)

Mặt khác, \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) (hai góc nhọn của tam giác vuông bằng \(90^\circ ).\)

Do đó \(\widehat {BIH} = 180^\circ - \left( {\widehat {ACB} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Vậy \(BK \bot HN.\)