Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = 30^\circ ,\widehat {CAD} = 45^\circ ,\widehat {DAB} = 60^\circ \). Gọi \(\alpha = \left[ {B,AD,C} \right]\) thì giá trị của \(\cos \alpha \) bằng bao nhiêu? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Đáp án: 48

Gọi tổng các số ở mỗi cột là \[k\].

Vì cột \[1\] chỉ chứa \[1\] số nên \[k \le 9\].

Vì cột \[3\] chứa \[3\] số nguyên dương phân biệt, tổng nhỏ nhất của chúng là \[1 + 2 + 3 = 6\] nên \[k \ge 6\]

Ta xét các trường hợp của \[k\].

+) Trường hợp 1: \[k = 6\].

Cột \[1\] chứa số \[6\].

Cột \[3\] chứa các số \[1\], \[2\]¸\[3\].

Cột \[2\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;5} \right\}\] hoặc \[\left\{ {2;4} \right\}\]. Ta thấy số \[1\] và \[2\] đều đã ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[2\]: \[k = 7\].

Cột \[1\] chứa số \[7\].

Cột \[3\] phải chứa các số \[\left\{ {1;2;4} \right\}\].

Cột \[2\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;6} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\]. Ta thấy nó đều chứa số ở cột \[3\] nên loại.

+) Trường hợp \[3\]: \[k = 8\]

Cột \[1\] chứa số \[8\].

Cột \[3\] có \[2\] khả năng là \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] hoặc \[\left\{ {1;2;5} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;5;6;7;9} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;6} \right\}\] có tổng bằng \[8\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;6;7;9} \right\}\], không có hai số nào có tổng bằng \[8\].

Ta có được \[1\] bộ số thỏa mãn.

+) Trường hợp \[4\]: \[k = 9\].

Cột \[1\] chứa số \[9\].

Cột \[3\] có \[3\] khả năng là \[\left\{ {1;2;6} \right\}\], \[\left\{ {1;3;5} \right\}\], \[\left\{ {2;3;4} \right\}\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;2;6} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {3;4;5;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {4;5} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {1;3;5} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {2;4;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {2;7} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

- Nếu chọn \[\left\{ {2;3;4} \right\}\] thì các số còn lại là \[\left\{ {1;5;6;7;8} \right\}\], ta chỉ có cặp \[\left\{ {1;8} \right\}\] có tổng bằng \[9\].

Ta có được \[3\] bộ số thỏa mãn.

+) Với mỗi bộ số, sắp xếp vị trí các số trong mỗi cột.

Cột \[1\] có \[1!\] cách xếp.

Cột \[2\] có \[2!\] cách xếp.

Cột \[3\] có \[3!\] cách xếp.

+) Vậy ta có tổng cộng \[\left( {1 + 3} \right) \times 1! \times 2! \times 3! = 48\] cách điền số thỏa mãn ycbt.

Đáp án: 0,17

Đầu tiên, ta xác định phân bố xác suất của tổng số chấm khi tung 2 con xúc xắc (gọi là không gian mẫu \(X\) cho mỗi lần tung, \(X \in [2,12]\)):

·         \(P(2) = P(12) = \frac{1}{{36}}\)

·         \(P(3) = P(11) = \frac{2}{{36}}\)

·         \(P(4) = P(10) = \frac{3}{{36}}\)

·         \(P(5) = P(9) = \frac{4}{{36}}\)

·         \(P(6) = P(8) = \frac{5}{{36}}\)

·         \(P(7) = \frac{6}{{36}}\)

Giả sử tam giác có hai cạnh là a, b và góc xen giữa là góc \(C = (t - 1)15\) độ. Để đây là một tam giác vuông, ta chia thành 2 trường hợp chính:

Trường hợp 1: Tam giác vuông tại C (Góc xen giữa là 90 độ)

·         Ta có: \((t - 1)15 = 90 \Rightarrow t = 7\).

·         Xác suất để \(t = 7\) là \(P(t = 7) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

·         Trong trường hợp này, với bất kỳ độ dài a, b nào được tạo ra, ta cũng luôn có một tam giác vuông.

Trường hợp 2: Tam giác vuông tại A hoặc B

·         Giả sử tam giác vuông tại đỉnh A (đối diện cạnh a). Khi đó, theo lượng giác học, ta có \(\cos C = \frac{b}{a}\). Vì a, b là các số nguyên dương nên \(\cos C\) phải là một số hữu tỉ dương.

·         Thử các giá trị của góc \(C\) từ điều kiện đề bài: 15 độ, 30 độ, 45 độ, 60 độ, 75 độ,... Ta thấy chỉ có \(C = 60\) độ (tương ứng với \(t = 5\)) thì \(\cos 60 = 0,5\) (là số hữu tỉ). Các góc lớn hơn 90 độ sẽ có \(\cos \) âm, không hợp lệ.

·         Vậy bắt buộc \(t = 5\). Xác suất xảy ra là \(P(t = 5) = \frac{4}{{36}} = \frac{1}{9}\).

·         Nếu vuông tại A: Ta cần \(\frac{b}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2b\). Các cặp \((a,b)\) thỏa mãn và xác suất tương ứng là:

o     \(b = 2,a = 4\): Xác suất \(\frac{1}{{36}} \cdot \frac{3}{{36}} = \frac{3}{{1296}}\)

o     \(b = 3,a = 6\): Xác suất \(\frac{2}{{36}} \cdot \frac{5}{{36}} = \frac{{10}}{{1296}}\)

o     \(b = 4,a = 8\): Xác suất \(\frac{3}{{36}} \cdot \frac{5}{{36}} = \frac{{15}}{{1296}}\)

o     \(b = 5,a = 10\): Xác suất \(\frac{4}{{36}} \cdot \frac{3}{{36}} = \frac{{12}}{{1296}}\)

o     \(b = 6,a = 12\): Xác suất \(\frac{5}{{36}} \cdot \frac{1}{{36}} = \frac{5}{{1296}}\)

o     Tổng xác suất để \(a = 2b\) là: \(\frac{{3 + 10 + 15 + 12 + 5}}{{1296}} = \frac{{45}}{{1296}}\).

·         Nếu vuông tại B: Vai trò của a, b là như nhau nên xác suất \(b = 2a\) cũng là \(\frac{{45}}{{1296}}\).

·         Vậy tổng xác suất của Trường hợp 2 là:

\(P(TH2) = \frac{1}{9} \cdot \left( {\frac{{45}}{{1296}} + \frac{{45}}{{1296}}} \right) = \frac{{10}}{{1296}}\)

Tổng kết:

Xác suất để tam giác được chọn là tam giác vuông bằng tổng xác suất của 2 trường hợp:

\(P = \frac{1}{6} + \frac{{10}}{{1296}} = \frac{{216}}{{1296}} + \frac{{10}}{{1296}} = \frac{{226}}{{1296}} = \frac{{113}}{{648}} \approx 0,17438...\)