1.Cho hình vẽ bên. Tính khoảng cách giữa hai điểm \[B\] và \[C\], biết \[DE = 21,3{\rm{\;m}}.\]

2) Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Trên đoạn thẳng \(AM\) lấy điểm \(G\) sao cho \(GA = 2GM.\) Kẻ đường thẳng \(d\) bất kì đi qua điểm \(G,\)cắt các đoạn thẳng \(AB,AC\) lần lượt tại các điểm \(E\) và \(F\left( {E \ne A,B} \right).\) Qua các điểm \[B,{\rm{ }}C\] vẽ các đường thẳng song song với đường thẳng \[EF\] cắt đường thẳng \(AM\) lần lượt tại các điểm \(H,K.\)

a) Chứng minh \(BH = CK.\)

b) Chứng minh \(GH + GK = 2GM\) và \[\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\]

c) Nếu cho biết \[\frac{{BE}}{{AE}}.\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4},\] chứng minh khi đó đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \[BC.\]

1) Xét \(\Delta ABC\) có: \(D,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) (gt) nên \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC,\) do đó \(DE = \frac{{BC}}{2}\) (định lí).

Thay số: \(21,3 = \frac{{BC}}{2},\) suy ra \(BC = 21,3.2 = 42,6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm \[B\] và \[C\] là \(42,6{\rm{\;cm}}.\)

2)

a) Ta có \(BH\,{\rm{//}}\,d,\,\,CK\,{\rm{//}}\,d\) nên \(BH\,{\rm{//}}\,CK,\) suy ra \(\widehat {HBM} = \widehat {KCM}\) (hai góc so le trong).

\(\Delta BHM\) và \(\Delta CKM\) có:

\(\widehat {HBM} = \widehat {KCM};\)

\(BM = CM;\)

\(\widehat {BMH} = \widehat {CMK}\)

Do đó \(\Delta BHM = \Delta CKM\) (g.c.g).

Suy ra \(BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).

b) ⦁ Ta có \(GH + GK = GH + (GH + HK) = 2GH + HK\)                

 \( = 2GH + 2HM = 2\left( {GH + HM} \right) = 2GM\).

⦁ Vì \(\Delta BHM = \Delta CKM\) nên \(HM = KM\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(HK = 2HM.\)

\(\Delta ABH\)có \(EG\,{\rm{//}}\,BH\) nên \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{GH}}{{GA}}\) (định lý Thalès) ;

\(\Delta AKC\)có \[CK\,{\rm{//}}\,GF\] nên \[\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GK}}{{GA}}\] (định lý Thalès).

Do đó \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GH}}{{GA}} + \frac{{GK}}{{GA}} = \frac{{GH + GK}}{{GA}} = \frac{{2GM}}{{GA}} = \frac{{GA}}{{GA}} = 1.\)

c) Ta có \[\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\] nên \[\frac{{BE}}{{AE}} = 1 - \frac{{CF}}{{AF}}\]

Mà \[\frac{{BE}}{{AE}} \cdot \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4}\] nên \[\left( {1 - \frac{{CF}}{{AF}}} \right) \cdot \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{4}\] suy ra \[\frac{{CF}}{{AF}} - {\left( {\frac{{CF}}{{AF}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\]

Khi đó \[{\left( {\frac{{CF}}{{AF}}} \right)^2} - \frac{{CF}}{{AF}} + \frac{1}{4} = 0\] hay \[{\left( {\frac{{CF}}{{AF}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\] do đó \[\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \[\frac{{BE}}{{AE}} = 1 - \frac{{CF}}{{AF}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\]

\(\Delta ABC\) có \[\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{1}{2}\] nên \[EF\,{\rm{//}}\,BC\]  hay \(d\,{\rm{//}}\,BC.\)