Cho hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng 1. Cung \[AC\] là một phần tư đường tròn tâm \[D\], bán kính \[DA\] (tham khảo hình vẽ). Giả sử \[P\] là điểm thay đổi trên cung \[AC\](\[P\] khác \[A\] và \[C\]). Tiếp tuyến tại điểm \[P\] của cung \[AC\] cắt các đoạn thẳng \[AB,BC\] theo thứ tự tại các điểm \[M,N.\] Diện tích lớn nhất của tam giác \[BMN\] bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trả lời: 11,7.

Số tiền gốc anh Tú phải trả đều mỗi tháng là: \(300:12 = 25\) (triệu đồng).

Lãi suất mỗi tháng là: \(7,2\% :12 = 0,6\%  = 0,006\).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ nhất là: \({L_1} = 300 \times 0,006 = 1,8\) (triệu đồng).

Số tiền gốc còn lại sau khi trả tháng thứ nhất là: \(300 - 25 = 275\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ hai là: \({L_2} = 275 \times 0,006 = 1,65\) (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, số tiền gốc còn lại sẽ giảm dần sau mỗi tháng.

Số tiền gốc còn lại ở đầu tháng thứ \(k\) là: \(300 - (k - 1) \times 25\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ \(k\) là: \({L_k} = (300 - (k - 1) \times 25) \times 0,006\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng cuối cùng (tháng thứ mười hai) là:

\({L_{12}} = (300 - (12 - 1) \times 25) \times 0,006 = 0,15\) (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng sau 12 tháng là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu \({L_1} = 1,8\), số hạng cuối \({L_{12}} = 0,15\) và có \(12\) số hạng.

Tổng lãi phải trả là: \(S = \frac{{12}}{2} \times ({L_1} + {L_{12}}) = 6 \times (1,8 + 0,15) = 6 \times 1,95 = 11,7\) (triệu đồng).

Vậy, tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng là \(11,7\) triệu đồng.

\[{v_0} = 90{\rm{ km/h}} = \frac{{90}}{{3,6}} = 25{\rm{ m/s}}.\]

a) Đúng

- Giai đoạn 1 (Chưa giảm tốc): Trong 20 giây đầu, ô tô vẫn duy trì tốc độ 25 m/s.

- Quãng đường đi được là: \[{S_1} = 25 \times 20 = 500{\rm{ m}}.\]

- Khoảng cách còn lại đến trạm thu phí khi bắt đầu giảm tốc: \[{S_2} = 1000 - 500 = 500{\rm{ m}}.\]

b) Sai

- Tại thời điểm bắt đầu giảm tốc \[\left( {t = 0} \right):v\left( 0 \right) = a\left( 0 \right) + b = 25 \Rightarrow b = 25\].

c) Đúng

- Hàm vận tốc là \[v\left( t \right) = at + 25.\]

- Quãng đường đi được trong 30 giây giảm tốc là \[{S_2} = 500{\rm{ m}}\]. Ta có tích phân:

\[\int_0^{30} {\left( {at + 25} \right)} {\kern 1pt} {\rm{d}}t = \left[ {\frac{1}{2}a{t^2} + 25t} \right]_0^{30} = 450a + 750 = 500 \Rightarrow 450a =  - 250 \Rightarrow a =  - \frac{{\bf{5}}}{{\bf{9}}}\].

d) Đúng

Vận tốc khi đến trạm thu phí: \[v\left( {30} \right) =  - \frac{5}{9} \times 30 + 25 =  - \frac{{50}}{3} + 25 = \frac{{25}}{3}{\rm{ m/s}} = \frac{{25}}{3} \times 3,6 = 30{\rm{ km/h}}.\]

Vì vận tốc đúng bằng 30 km/h nên người lái xe tuân thủ đúng quy định.