Cho hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng 1. Cung \[AC\] là một phần tư đường tròn tâm \[D\], bán kính \[DA\] (tham khảo hình vẽ). Giả sử \[P\] là điểm thay đổi trên cung \[AC\](\[P\] khác \[A\] và \[C\]). Tiếp tuyến tại điểm \[P\] của cung \[AC\] cắt các đoạn thẳng \[AB,BC\] theo thứ tự tại các điểm \[M,N.\] Diện tích lớn nhất của tam giác \[BMN\] bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: \(9,76\).

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Parabol thứ nhất \(\left( {{P_1}} \right):{y_1} = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và đi qua mép lưới tại điểm có tọa độ \(\left( { \pm 4;8} \right)\).

Khi đó, ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a{.4^2} + b.4 + c = 8\\a.{\left( { - 4} \right)^2} + b.\left( { - 4} \right) + c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\).

Phương trình \(\left( {{P_1}} \right)\) là \({y_1} = \frac{1}{2}{x^2}\).

Parabol thứ hai \(\left( {{P_2}} \right):{y_2} = m{x^2} + nx + p\) đi qua \(3\) điểm có tọa độ là \(\left( { - 4;6} \right)\), \(\left( {4;5} \right)\) và \(\left( { - 2;3} \right)\).

Khi đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m.{\left( { - 4} \right)^2} + n.\left( { - 4} \right) + p = 6\\m{.4^2} + n.4 + p = 5\\m.{\left( { - 2} \right)^2} + n.\left( { - 2} \right) + p = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{11}}{{48}}\\n = \frac{{ - 1}}{8}\\p = \frac{{11}}{6}\end{array} \right.\).

Phương trình \(\left( {{P_2}} \right)\) là \({y_2} = \frac{{11}}{{48}}{x^2} - \frac{1}{8}x + \frac{{11}}{6}\).

Phần gạch chéo trải dài trên toàn bộ lưới ô vuông từ \(x =  - 4\) đến \(x = 4\) có diện tích \(S\) được tính bằng tích phân:

\(S = \int_{ - 4}^4 {\left| {{y_1} - {y_2}} \right|} dx = \int_{ - 4}^4 {\left| {\frac{{13}}{{48}}{x^2} + \frac{1}{8}x - \frac{{11}}{6}} \right|} dx = \frac{{1153\sqrt {1153} }}{{3042}} - \frac{{28}}{9} \approx 9,76\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Trả lời: 11,7.

Số tiền gốc anh Tú phải trả đều mỗi tháng là: \(300:12 = 25\) (triệu đồng).

Lãi suất mỗi tháng là: \(7,2\% :12 = 0,6\%  = 0,006\).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ nhất là: \({L_1} = 300 \times 0,006 = 1,8\) (triệu đồng).

Số tiền gốc còn lại sau khi trả tháng thứ nhất là: \(300 - 25 = 275\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ hai là: \({L_2} = 275 \times 0,006 = 1,65\) (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, số tiền gốc còn lại sẽ giảm dần sau mỗi tháng.

Số tiền gốc còn lại ở đầu tháng thứ \(k\) là: \(300 - (k - 1) \times 25\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng thứ \(k\) là: \({L_k} = (300 - (k - 1) \times 25) \times 0,006\) (triệu đồng).

Tiền lãi anh Tú phải trả trong tháng cuối cùng (tháng thứ mười hai) là:

\({L_{12}} = (300 - (12 - 1) \times 25) \times 0,006 = 0,15\) (triệu đồng).

Tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng sau 12 tháng là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu \({L_1} = 1,8\), số hạng cuối \({L_{12}} = 0,15\) và có \(12\) số hạng.

Tổng lãi phải trả là: \(S = \frac{{12}}{2} \times ({L_1} + {L_{12}}) = 6 \times (1,8 + 0,15) = 6 \times 1,95 = 11,7\) (triệu đồng).

Vậy, tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng là \(11,7\) triệu đồng.