Anh Tú vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua xe ô tô với lãi suất cố định 7,2%/năm theo hình thức trả góp hằng tháng, trong thời hạn 12 tháng (ứng với 12 kì trả nợ). Trong thời hạn đó, cuối mỗi kì trả nợ, anh Tú phải trả 25 triệu đồng tiền gốc (ứng với 300 triệu đồng chia đều cho 12 tháng) và một khoản tiền lãi được tính theo số tiền dư nợ còn lại. Sau 12 tháng, tổng số tiền lãi anh Tú phải trả ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: \(9,76\).

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Parabol thứ nhất \(\left( {{P_1}} \right):{y_1} = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và đi qua mép lưới tại điểm có tọa độ \(\left( { \pm 4;8} \right)\).

Khi đó, ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a{.4^2} + b.4 + c = 8\\a.{\left( { - 4} \right)^2} + b.\left( { - 4} \right) + c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\).

Phương trình \(\left( {{P_1}} \right)\) là \({y_1} = \frac{1}{2}{x^2}\).

Parabol thứ hai \(\left( {{P_2}} \right):{y_2} = m{x^2} + nx + p\) đi qua \(3\) điểm có tọa độ là \(\left( { - 4;6} \right)\), \(\left( {4;5} \right)\) và \(\left( { - 2;3} \right)\).

Khi đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m.{\left( { - 4} \right)^2} + n.\left( { - 4} \right) + p = 6\\m{.4^2} + n.4 + p = 5\\m.{\left( { - 2} \right)^2} + n.\left( { - 2} \right) + p = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{11}}{{48}}\\n = \frac{{ - 1}}{8}\\p = \frac{{11}}{6}\end{array} \right.\).

Phương trình \(\left( {{P_2}} \right)\) là \({y_2} = \frac{{11}}{{48}}{x^2} - \frac{1}{8}x + \frac{{11}}{6}\).

Phần gạch chéo trải dài trên toàn bộ lưới ô vuông từ \(x =  - 4\) đến \(x = 4\) có diện tích \(S\) được tính bằng tích phân:

\(S = \int_{ - 4}^4 {\left| {{y_1} - {y_2}} \right|} dx = \int_{ - 4}^4 {\left| {\frac{{13}}{{48}}{x^2} + \frac{1}{8}x - \frac{{11}}{6}} \right|} dx = \frac{{1153\sqrt {1153} }}{{3042}} - \frac{{28}}{9} \approx 9,76\,\left( {c{m^2}} \right)\).

\[{v_0} = 90{\rm{ km/h}} = \frac{{90}}{{3,6}} = 25{\rm{ m/s}}.\]

a) Đúng

- Giai đoạn 1 (Chưa giảm tốc): Trong 20 giây đầu, ô tô vẫn duy trì tốc độ 25 m/s.

- Quãng đường đi được là: \[{S_1} = 25 \times 20 = 500{\rm{ m}}.\]

- Khoảng cách còn lại đến trạm thu phí khi bắt đầu giảm tốc: \[{S_2} = 1000 - 500 = 500{\rm{ m}}.\]

b) Sai

- Tại thời điểm bắt đầu giảm tốc \[\left( {t = 0} \right):v\left( 0 \right) = a\left( 0 \right) + b = 25 \Rightarrow b = 25\].

c) Đúng

- Hàm vận tốc là \[v\left( t \right) = at + 25.\]

- Quãng đường đi được trong 30 giây giảm tốc là \[{S_2} = 500{\rm{ m}}\]. Ta có tích phân:

\[\int_0^{30} {\left( {at + 25} \right)} {\kern 1pt} {\rm{d}}t = \left[ {\frac{1}{2}a{t^2} + 25t} \right]_0^{30} = 450a + 750 = 500 \Rightarrow 450a =  - 250 \Rightarrow a =  - \frac{{\bf{5}}}{{\bf{9}}}\].

d) Đúng

Vận tốc khi đến trạm thu phí: \[v\left( {30} \right) =  - \frac{5}{9} \times 30 + 25 =  - \frac{{50}}{3} + 25 = \frac{{25}}{3}{\rm{ m/s}} = \frac{{25}}{3} \times 3,6 = 30{\rm{ km/h}}.\]

Vì vận tốc đúng bằng 30 km/h nên người lái xe tuân thủ đúng quy định.