Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}(2m + 1)x - 3y = 3m - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\(m + 3)x - (m + 1)y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

a. Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm

b. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn \[x \ge 2y\]

c. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] sao cho \[P = {x^2} + 3{y^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 34 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ (1) \[ \Rightarrow y = \frac{{(2m + 1)x - 3m + 2}}{3}\] thay vào phương trình (2) ta được:

\[(m + 3)x - \frac{{(m + 1)\left[ {\left( {2m + 1} \right)x - 3m + 2} \right]}}{3} = 2m\]

\[3(m + 3)x - (m + 1)(2m + 1)x + (m + 1)(3m - 2) = 6m\]

\[2({m^2} - 4)x = 3{m^2} - 5m - 2\,\,\,\,\,(*)\]

a. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3{m^2} - 5m - 2 = 0\end{array} \right.\\{m^2} - 4 \ne 0\end{array} \right.\]

\[\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \pm 2\end{array} \right.\]

Vậy điều kiện: \[m \ne 2\].

b. Hệ có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\]

Khi đó: \[(*) \Leftrightarrow x = \frac{{(3m + 1)(m - 2)}}{{2(m - 2)(m + 2)}} = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\]

\[ \Rightarrow y = \frac{{\frac{{(2m + 1)(3m + 1)}}{{2(m + 2)}} - 3m + 2}}{3} = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\]

Do đó: \[x \ge 2y \Leftrightarrow \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}} \ge \frac{{2(3 - m)}}{{2(m + 2)}}\]

\[\frac{{5m - 5}}{{2(m + 2)}} \ge 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m < - 2\end{array} \right.\]

Vậy \[m > 2\] hoặc \[1 \le m < 2\] hoặc \[m < - 2\] là các giá trị cần tìm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất khi \[m \ne \pm 2\], khi đó nghiệm của hệ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\\y = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\end{array} \right.\]

\[P = \frac{{{{(3m + 1)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} + \frac{{3{{(3 - m)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 3m + 7}}{{{m^2} + 4m + 4}}\]

\[P - \frac{3}{4} = \frac{{{{(3m - 4)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}} \ge 0\].

Do đó \[P \ge \frac{3}{4}\] nên \[m = \frac{4}{3}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x + 3y = 2\end{array} \right.\]

b) \[\left\{ \begin{array}{l}5x = 6y\\x = 2\left( {y - 6} \right)\end{array} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y = 2\\x + y = 4\end{array} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

a) $\left( {1;\,\frac{1}{3}} \right)$ b) $\,(18;\,15)$ c) $(2;2)$

Câu 2

Giải các hệ phương trình sau

a. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.\] b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

a. Điều kiện \[x,y \ne 0\].

Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\], ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{{12}}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}8a + 8b = \frac{2}{3}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{28}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {28;21} \right)\].

b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x \ne - 2y;y \ne - 2x} \right)\]

Đặt \[\frac{1}{{x + 2y}} = 1;\,\,\,\frac{1}{{y + 2x}} = b\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 3b = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[x = y = \frac{1}{3}\]

Câu 3