Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}(2m + 1)x - 3y = 3m - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\(m + 3)x - (m + 1)y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]
a. Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm
b. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn \[x \ge 2y\]
c. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] sao cho \[P = {x^2} + 3{y^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất
Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}(2m + 1)x - 3y = 3m - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\(m + 3)x - (m + 1)y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]
a. Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm
b. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn \[x \ge 2y\]
c. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] sao cho \[P = {x^2} + 3{y^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ (1) \[ \Rightarrow y = \frac{{(2m + 1)x - 3m + 2}}{3}\] thay vào phương trình (2) ta được:
\[(m + 3)x - \frac{{(m + 1)\left[ {\left( {2m + 1} \right)x - 3m + 2} \right]}}{3} = 2m\]
\[3(m + 3)x - (m + 1)(2m + 1)x + (m + 1)(3m - 2) = 6m\]
\[2({m^2} - 4)x = 3{m^2} - 5m - 2\,\,\,\,\,(*)\]
a. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3{m^2} - 5m - 2 = 0\end{array} \right.\\{m^2} - 4 \ne 0\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \pm 2\end{array} \right.\]
Vậy điều kiện: \[m \ne 2\].
b. Hệ có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\]
Khi đó: \[(*) \Leftrightarrow x = \frac{{(3m + 1)(m - 2)}}{{2(m - 2)(m + 2)}} = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\]
\[ \Rightarrow y = \frac{{\frac{{(2m + 1)(3m + 1)}}{{2(m + 2)}} - 3m + 2}}{3} = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\]
Do đó: \[x \ge 2y \Leftrightarrow \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}} \ge \frac{{2(3 - m)}}{{2(m + 2)}}\]
\[\frac{{5m - 5}}{{2(m + 2)}} \ge 0\]
\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m < - 2\end{array} \right.\]
Vậy \[m > 2\] hoặc \[1 \le m < 2\] hoặc \[m < - 2\] là các giá trị cần tìm.
c. Hệ có nghiệm duy nhất khi \[m \ne \pm 2\], khi đó nghiệm của hệ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\\y = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\end{array} \right.\]
\[P = \frac{{{{(3m + 1)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} + \frac{{3{{(3 - m)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 3m + 7}}{{{m^2} + 4m + 4}}\]
\[P - \frac{3}{4} = \frac{{{{(3m - 4)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}} \ge 0\].
Do đó \[P \ge \frac{3}{4}\] nên \[m = \frac{4}{3}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đặt \(u = \frac{1}{{x + y}};\,v = \frac{1}{{x - y}};\,\left( {\frac{{77}}{{20}};\,\frac{{ - 63}}{{20}}} \right)\).
b) Đặt \(u = \sqrt x ;\,v = \sqrt y ;\,\left( {u,v \ge 0} \right)\,;\,\,(0;1)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a. Điều kiện \[x,y \ne 0\]. Đặt \[\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b\], ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{{12}}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}8a + 8b = \frac{2}{3}\\8a + 15b = 1\end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{28}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\] Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {28;21} \right)\]. |
b. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\\frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x \ne - 2y;y \ne - 2x} \right)\] Đặt \[\frac{1}{{x + 2y}} = 1;\,\,\,\frac{1}{{y + 2x}} = b\] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 3b = 1\end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{7}\\b = \frac{{11}}{7}\end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\] Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[x = y = \frac{1}{3}\] |
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập