a) Cho \[a > b > 0\]. Chứng minh \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]

b) áp dụng kết quả trên, so sánh \[\frac{{2022}}{{2023}}\] và \[\frac{{2023}}{{2024}}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Cho \[a > b > 0\]. Chứng minh \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]. Ta có \[a > b > 0\] do đó \[\frac{1}{{ab}} > 0\]

Nhân hai vế của bất đẳng thức \[a > b\] cho \[\frac{1}{{ab}}\]

Ta được \[a.\frac{1}{{ab}} > b.\frac{1}{{ab}}\] hay \[\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\]

Do đó \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]

b) Áp dụng kết quả trên, so sánh \[\frac{{2022}}{{2023}}\] và \[\frac{{2023}}{{2024}}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}\frac{{2022}}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}}\\\frac{{2023}}{{2024}} = 1 - \frac{1}{{2024}}\end{array}\]

Vì \[\frac{1}{{2023}} > \frac{1}{{2024}}\] nên \[1 - \frac{1}{{2023}} > 1 - \frac{1}{{2024}}\] hay \[\frac{{2022}}{{2023}} < \frac{{2023}}{{2024}}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất của \({\rm{A}} = (1 - {\rm{x}})(2 - {\rm{x}})\) với \(\frac{1}{2} < {\rm{x}} < 1\).

Lời giải

Giả sử \({\rm{x}},{\rm{y}} > 0\) và \({\rm{x}} + {\rm{y}} = {\rm{k}}\) (không đổi).Ta có \(:(x - y) + 4xy = {(x + y)^2} = {k^2} \Rightarrow xy \le \frac{{{k^2}}}{4}\).

\(A = \frac{1}{2}(2 - 2x)(2x - 1):\max A = \frac{1}{8}\)

Câu 2

Chứng minh rằng: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x}(\) với \(x > 0)\); b) \({\rm{C}} = {\rm{x}} + \frac{1}{{{\rm{x}} - 1}}(\) với \({\rm{x}} > 1)\).

Lời giải

a)\(B = x + \frac{1}{x} + 2 \ge 4;\min B = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).

b)\(C = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 1 \ge 3;\min C = 3 \Leftrightarrow x = 2\).

Câu 3