Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến về mặt kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt kế hoạch 18%, và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.

 Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,\] do đó \(AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\), ta có:

\[CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:

\[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},\] hay \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},\] suy ra \[DC = DB\sqrt 3 \].

Mà \[DC + DB = BC = 18\]

Suy ra \[DB\sqrt 3 + DB = 18\], hay \[DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18\]

Do đó \[DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6,59{\rm{\;cm}}\] và \[DC = DB\sqrt 3 \approx 6,59 \cdot \sqrt 3 \approx 11,41\] (cm).

Lại có \(CH = CD + DH\) nên \(DH = CH - CD \approx 13,5 - 11,41 = 2,09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta ADH\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65,1181\]

Suy ra \[AD \approx \sqrt {65,1181} \approx 8,07{\rm{\;cm}}\].

Đổi: 1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ; 10 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}}\) giờ; 12 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}\) (giờ).

Gọi \[x\] (giờ); \[y\] (giờ) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể \(\left( {x > \frac{4}{3};\,\,y > \frac{4}{3}} \right).\)

⦁ Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể).

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được: \(\frac{1}{y}\) (bể).

Do đó, trong một giờ cả hai vòi sẽ chảy được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (bể).

Theo bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau \(\frac{4}{3}\) (giờ) sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi sẽ chạy được: \(\frac{1}{{\frac{4}{3}}} = \frac{3}{4}\) (bể).

Do đó, ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\)    (1)

⦁ Khi mở vòi thứ nhất trong 10 phút thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\) (bể).

Khi mở vòi thứ hai trong 12 phút thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y}\) (bể).

Theo bài, Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được \[\frac{2}{{15}}\] bể nên ta có phương trình \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 5, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

\[\left( {1 - \frac{5}{6}} \right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}\] hay \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\), suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{2},\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\), ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\frac{1}{y} = \frac{1}{4},\) nên \(y = 4\) (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 2 giờ sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 4 giờ sẽ đầy bể.