Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 65^\circ \), \(\widehat C = 45^\circ \) và \(AB = 2,8{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\). Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác đó (gọi là giải tam giác \(ABC\)).

Vẽ \[BH \bot AC \Rightarrow BH = BC.\sin C = 11.\sin 30^\circ  = 11.\frac{1}{2} = 5,5\,\left( {cm} \right).\]

              Dễ thấy \[\widehat {HBC} = 60^\circ ;\,\,\,\widehat {HBA} = 22^\circ .\]

              Xét tam giác vuông \[HBA\] có \[AB = \frac{{BH}}{{\cos \widehat {HBA}}} = \frac{{5,5}}{{\cos 22^\circ }} \approx 5,932\,\,\left( {cm} \right).\]

              Xét tam giác vuông \[ABN\]có \[AN = AB.\sin 38^\circ  \approx 3,652\,\,\left( {cm} \right).\]

              Xét tam giác vuông \[ANC\]có \[AC = \frac{{AN}}{{\sin C}} \approx \frac{{3,652}}{{\sin 30^\circ }} = 7,304\,\,\left( {cm} \right).\]

Ta có \[\widehat A = 180^\circ  - \widehat B - \widehat C = 180^\circ  - 65^\circ  - 40^\circ  = 75^\circ \].

Kẻ đường cao \(BH\). Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\), ta có

\(BH = BC \cdot \sin C = 4,2 \cdot \sin 40^\circ  \approx 2,70\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Tương tự, xét  vuông tại \(H\), ta có

\(AB = \frac{{BH}}{{\sin A}} = \frac{{2,70}}{{\sin 75^\circ }} \approx 2,8{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Mặt khác, ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}& = &{AH + CH = BH \cdot \left( {\cot A + \cot C} \right)}\\{}& \approx &{2,70 \cdot \left( {\cot 75^\circ  + \cot 40^\circ } \right) \approx 3,9\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)}\end{array}\)