Cho tam giác \(ABC,\) trong đó \(BC = 11\,cm,\,\,\widehat {ABC} = 38^\circ ,\) \[\widehat {ACB} = 30^\circ .\] Gọi điểm \[N\]là chân đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến cạnh \[BC.\] Hãy tính:

a)    Đoạn thẳng \(AN;\)

b)    Cạnh \(AC.\)

Ta có \[\widehat A = 180^\circ  - \widehat B - \widehat C = 180^\circ  - 65^\circ  - 40^\circ  = 75^\circ \].

Kẻ đường cao \(BH\). Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\), ta có

\(BH = BC \cdot \sin C = 4,2 \cdot \sin 40^\circ  \approx 2,70\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Tương tự, xét  vuông tại \(H\), ta có

\(AB = \frac{{BH}}{{\sin A}} = \frac{{2,70}}{{\sin 75^\circ }} \approx 2,8{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Mặt khác, ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}& = &{AH + CH = BH \cdot \left( {\cot A + \cot C} \right)}\\{}& \approx &{2,70 \cdot \left( {\cot 75^\circ  + \cot 40^\circ } \right) \approx 3,9\,\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{cm}}} \right)}\end{array}\)

Vẽ \(AH \bot BC\).  Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \(H\), ta có

\(AH = AB \cdot \sin B = 2,1 \cdot \sin 70^\circ  \approx 1,97\).

Tương tự, xét \(BH = AB \cdot \cos B = 2,1 \cdot \cos 70^\circ  \approx 0,72\).

Mặt khác, xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \approx \frac{{1,97}}{{3,8}} \approx \sin 31^\circ 14'\) do đó \(\hat C \approx 31^\circ 14'\).

Mà \(\widehat A = 180^\circ  - \left( {70^\circ  + 31^\circ 14'} \right) = 78^\circ 46'\).

Ta có \(HC = AC \cdot \cos C \approx 3,80 \cdot \cos 31^\circ 14' \approx 3,25\).

Mà \(BC = BH + HC = 0,72 + 3,25 = 3,97\).