Giải các hệ phương trình sau:

a) \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11.\end{array} \right.\]                                                               b) \[\left\{ \begin{array}{l}5x + 4y = 1\\3x - 2y = 5.\end{array} \right.\]

c) \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47.\end{array} \right.\]                                                               d)\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0.\end{array} \right.\]

e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 7\\\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 4.\end{array} \right.\)     f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4\\\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4.\end{array} \right.\]

a) \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11.\end{array} \right.\]

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(5x = 15\) nên \(x = 3.\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình \(3x + y = 4,\) ta được:

\(3 \cdot 3 + y = 4,\) hay \(9 + y = 4,\) suy ra \(y = - 5.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3; - 5} \right)\).

b) \[\left\{ \begin{array}{l}5x + 4y = 1\\3x - 2y = 5.\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất ta có \[4y = 1 - 5x\] hay \[y = \frac{1}{4} - \frac{5}{4}x\].

Thế vào phương trình thứ hai, ta được

\[3x - 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{5}{4}x} \right) = 5\], tức là \[\frac{{11}}{2}x - \frac{1}{2} = 4\], suy ra \[\frac{{11}}{2}x = \frac{{11}}{2}\] hay \[x = 1\].

Từ đó \[y = \frac{1}{4} - \frac{5}{4}.1 = - 1.\]

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {1\,;\,\, - 1} \right).\]

c) \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(5x = 55\), suy ra \(x = 11\).

Thay \(x = 11\) vào phương trình \[4x + y = 51\], ta được:

\[4 \cdot 11 + y = 51\] suy ra \(y = 7\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {11;\,\,7} \right).\)

d) \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0.\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x + 5y = 8\] suy ra \(x = 4 - \frac{5}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[2\left( {4 - \frac{5}{2}y} \right) - 3y = 0\], tức là \[8 - 8y = 0\], suy ra \[8y = 8\] hay \[y = 1\].

Từ đó \[x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\,\,1} \right).\]

e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 7\\\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 4\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \[\left\{ \begin{array}{l}2a - 3b = 7\\3a + 2b = 4.\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất ta có \[2a - 3b = 7\] suy ra \[a = \frac{7}{2} + \frac{3}{2}b\]. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[3\left( {\frac{7}{2} + \frac{3}{2}b} \right) + 2b = 4\], tức là \[\frac{{21}}{2} + \frac{{13}}{2}b = 4\], suy ra \[\frac{{13}}{2}b = - \frac{{13}}{2}\] hay \[b = - 1\].

Từ đó \[a = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \cdot \left( { - 1} \right) = 2.\]

– Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

– Với \(b = - 1\) ta có \(\frac{1}{y} = - 1,\) suy ra \(y = - 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\, - 1} \right)\).

f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4\\\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 4\\3a - 2b = 4.\end{array} \right.\)

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được \(4a = 8\), suy ra \(a = 2.\)

Thay \(a = 2\) vào phương trình thứ nhất ta được: \(2 + 2b = 4\) hay \(2b = 2\), suy ra \(b = 1\).

– Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

– Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).