Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4.\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16.\)

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

c) Xét biểu thức \(P = \frac{A}{B}.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn \(P \le 4\).

a) Ta có \(BC = BH + HC = 9 + 4 = 13\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), ta có: \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.\)

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\), ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}.\)

Do đó \[\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}}\]

Suy ra \(A{B^2} = BH \cdot BC = 9 \cdot 13 = 117\) nên \(AB = 3\sqrt {13} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\), ta có \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\]

Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - 117 = 52\] nên \[AC = 2\sqrt {13} \,\,cm.\]

Áp dụng định lí Pythagore vào \[\Delta AHC\] vuông tại \(H\),  ta có \[A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\]

Suy ra \[A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = 52 - {4^2} = 36\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\] nên \[AH = 6\,\,cm.\]

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), ta có: \[\cos A = \frac{{AH}}{{AB}}.\]

Xét \[\Delta AHE\] vuông tại \(E\), ta có: \[\cos A = \frac{{AE}}{{AH}}.\]

Do đó \[\cos A = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AH}}.\] Suy ra $A{H}^2 = AE\hspace{0.17em}. AB\hspace{0.17em}\left(1\right)$ 

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), ta có: \[\tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}}.\]

Xét \[\Delta AHC\] vuông tại \(E\), ta có: \[\cos \widehat {CAH} = \frac{{AH}}{{HC}}.\]

Do đó \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\] suy ra $A{H}^2 = BH . HC\hspace{0.17em}\left(2\right)$

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AE \cdot AB = BH \cdot HC\].

c) Xét \[\Delta AHE\] vuông tại \(E\), ta có \[\sin \widehat {EAH} = \frac{{HE}}{{AH}}\] suy ra ${\sin }^2 \widehat{EAH} = \frac{H{E}^2}{A{H}^2 } \left(3\right)$

Xét \[\Delta AHE\] vuông tại \(E\), ta có \[\sin \widehat {MFH} = \frac{{MH}}{{HF}}\].

Vì \(\Delta ABF\) vuông tại \(B\) nên \(\widehat {BAH} + \widehat {BFH} = 90^\circ \) suy ra \[\sin \widehat {BFH} = \cos \widehat {EAH}.\]

Do đó \[\cos \widehat {EAH} = \frac{{MH}}{{HF}}\] suy ra ${\cos }^2\widehat{EAH } = \frac{M{H}^2}{H{F}^2 } \left(4\right)$

Mặt khác, xét \[\Delta AHE\] vuông tại \(E\), ta có

 \[\sin \widehat {EAH} = \frac{{HE}}{{AH}}\,;\,\,\cos \widehat {EAH} = \frac{{AE}}{{AH}}\]  (áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn).

 \[H{E^2} + A{E^2} = A{H^2}\] (áp dụng định lí Pythagore)

Do đó ${\sin }^2 \widehat{EAH } + {\cos }^2 \widehat{EAH }= \frac{H{E}^2}{A{H}^2 } + \frac{A{E}^2}{A{H}^2} =\frac{H{E}^2 + A{E}^2}{A{H}^2} = \frac{A{H}^2}{A{H}^{2 }} \left(5\right)$

Từ \[\left( 3 \right),\,\,\left( 4 \right)\] và \[\left( 5 \right)\] suy ra \[{\sin ^2}\widehat {EAH} + {\cos ^2}\widehat {EAH} = \frac{{H{E^2}}}{{A{H^2}}} + \frac{{M{H^2}}}{{H{F^2}}} = 1\] (đpcm).

Đổi 40 phút \( = \frac{2}{3}\) giờ.

Gọi \[x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\] là tốc độ của ca nô khi nước yên lặng \[\left( {x > 3} \right).\]

Vận tốc khi ca nô xuôi dòng là: \[x + 3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right){\rm{.}}\]

Vận tốc khi cano ngược dòng là: \[x - 3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right){\rm{.}}\]

Thời gian cano xuôi dòng: \[\frac{{24}}{{x + 3}}\] (h).

Thời gian cano ngược dòng: \[\frac{{24}}{{x - 3}}\] (h).

Do thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút (\(\frac{2}{3}\) giờ) mà khi đi xuôi dòng luôn nhanh hơn đi ngược dòng nên

\(\frac{{24}}{{x - 3}} - \frac{{24}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{24 \cdot 3\left( {x + 3} \right)}}{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{24 \cdot 3\left( {x - 3} \right)}}{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\[24 \cdot 3\left( {x + 3} \right)--24 \cdot 3\left( {x--3} \right) = 2\left( {x + 3} \right)\left( {x--3} \right)\]

\[72x + 216 - 72x + 216 = 2\left( {{x^2} - 9} \right)\]

\[432 = 2{x^2}--18\]

\[2{x^2} = 450\]

\[{x^2} = 225\]

\[x = 15\] hoặc \[x = - 15\].

Do \[x > 3\] nên \[x = 15\].

Vậy tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là \[15{\rm{ }}{\mathop{\rm km}\nolimits} /h.\]