Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh bằng \[a\]. Tập hợp các điểm \[M\] thỏa mãn đẳng thức \[4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\] nằm trên một đường tròn \[\left( C \right)\] có bán kính \[R\]. Tính \(R\).

Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {AE} \). Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\). Từ giả thiết:

\({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0{\rm{ }}\)(vật ở trạng tháng cân bằng)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AE} {\rm{. }}\)

Ta có \(AB = 12,\widehat {CAD} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = 30^\circ \).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên: \(BC = AB\tan 30^\circ  = 12 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3  = AD;\)

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 8\sqrt 3 \). Do vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AC = 8\sqrt 3 \; \approx 14\,{\rm{N}}\).

Chọn các điểm \(A,B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) (hình vẽ). Gọi điểm \(C\) là một đỉnh của hình bình hành \(OACB\), khi đó ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \)(quy tắc hình bình hành).

Cường độ tổng hợp hai lực là: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC\).

Xét tam giác \(OAB\) có \(OA = OB = 100\) và \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên tam giác \(OAB\) đều.

Gọi \(I\) là tâm hình bình hành \(OACB\), khi đó \(OI\) cũng là đường cao của tam giác đều \(OAB\).

Do đó \(OI = \frac{{100\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \), suy ra \(OC = 2OI = 100\sqrt 3 \).

Vậy hợp lực của \({\vec F_1},{\vec F_2}\) có độ lớn là \(100\sqrt 3 \,{\rm{N}} \approx {\rm{173}}\,{\rm{N}}\).