Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M \[ \ne \] A, B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

(a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp;

(b) Chứng minh MA // OD;

(c) Gọi P là giao điểm của CD và AB. Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.

Cho phương trình bậc hai \[{x^2} - 4x + a = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \[2{x_1} + 3{x_2} = 9\]. Hãy biểu diễn biểu thức \[A = {x_1}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\] theo tổng và tích hai nghiệm rồi tính giá trị của biểu thức \[A\].

Người ta dự tính tạo một hình nón từ tấm thép như hình bên dưới. Tính diện tích phần thép được sử dụng.

Một bộ bài tây thông thường có 52 lá gồm 26 lá đỏ, 26 lá đen. Trong 26 lá đỏ đó có 13 lá chất cơ, 13 lá chất rô. Trong 26 lá đen đó có 13 lá chất bích và 13 lá chất tép. Người ta lấy ra lần lượt hai lá bài từ bộ bài tây, lá thứ nhất lấy ra không trả lại. Tính xác suất để hai lá bài nhận được có cùng chất cơ.

Một hộp bóng tennis có dạng hình trụ, chứa vừa khít 4 quả bóng. Tính diện tích phần giấy cần dùng để bọc quanh thân hộp, biết đường kính của quả bóng tennis là \[6,4\] (cm). (Cho \[\pi \approx 3,14\], coi các mép nối không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Một thợ lặn quan sát miệng hang động A dưới nước từ một vị trí B cách miệng hang 10 (m) theo phương ngang BC. Góc hạ từ tầm mắt thợ lặn đến miệng hang là \[\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ \]. Biết rằng thợ lặn ở độ sâu 3 (m) dưới mặt nước. Tính độ sâu của miệng hang so với mặt nước. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Rút gọn biểu thức \[{\rm{P}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}}\] với \[x \ne 9\] và \[x \ge 0\].