Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 công cụ. Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch. Do đó cả xí nghiệp đã làm được 400 công cụ. Tính số công cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

a) Ta có \(\widehat {BEF} = \widehat {BEA} = {90^0}\)(góc nt chắn nửa đường tròn)

Nên E thuộc đường tròn đường kính BF(1)

và \(\widehat {BIF} = \widehat {BIC} = {90^0}\) (gt)

nên I thuộc đường tròn đường kính BF (2)

từ (1) và (2) E,I thuộc đường tròn đường kính BF

Vậy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn.

b) Ta có \( \Rightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}} \Rightarrow A{C^2} = BC.CD\)

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow A{C^2} = AI.AB\)

Lại có \( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{AF}}{{AB}} \Rightarrow AI.AB = AE.AF\)

Suy ra \(BC.CD = AE.AF\)

c) Gọi M là giao điểm của CI với (O)

Do \(AB = 2AC\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \({\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ABC} = \,0,5\)\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {30^0}\) do đó: \(\widehat {BAC} = {60^0}\) suy ra \(\widehat {BCM} = \widehat {BMC} = {60^0}\)

Do đó tam giác \(BCM\) đều \( \Rightarrow \widehat {MEC} = {60^0}\).

Trên đoạn \(ME\) lấy \(N\) sao cho \(NE = EC\) suy ra \(\Delta CEN\) đều

\( \Rightarrow CE = CN = NE\)\(.\) Từ đó dễ thấy \(\Delta BEC = \Delta MNC \Rightarrow BE = MN\).

\[BE + CE = MN + NE = ME \le AB = 2R\]

Mà \(BE + CE \ge 2\sqrt {BE.CE} \Rightarrow BE.CE \le {R^2} \Rightarrow S = 2026.BE.CE \le 2026{R^2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(BE = CE\) và \(ME = 2R\) hay \(E\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\).

\({x^2} - 7x + 5 = 0\)

\(\Delta = 29 > 0\) nên pt có hai nghiệm

Theo định lí Viète \({x_1} + {x_2} = 7;{x_1}{x_2} = 5\)

Vì tổng và tích của hai nghiệm đều dương nên \({x_1} > 0;\,{x_2} > 0\)

Vì \({x_2} > 0\) là nghiệm của phương trình đã cho nên nó phải thỏa mãn phương trình:

\(\begin{array}{l}{x_2}^2 - 7{x_2} + 5 = 0\\{x_2}^2 - 6{x_2} + 9 - {x_2} - 4 = 0\\{\left( {{x_2} - 3} \right)^2} = {x_2} + 4\\\sqrt {{{\left( {{x_2} - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{x_2} + 4} \\\left| {{x_2} - 3} \right| = \sqrt {{x_2} + 4} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}C = \left| {{x_2} - 3} \right| + \sqrt {{x_1} + 4} \\C = \sqrt {{x_1} + 4} + \sqrt {{x_2} + 4} \\{C^2} = {\left( {\sqrt {{x_1} + 4} + \sqrt {{x_2} + 4} } \right)^2} = 29\\C = \sqrt {29} \end{array}\)