Một loại kẹo có hình dáng là khối cầu với bán kính bằng \(1\,{\rm{cm}}\)được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều, các mặt của vỏ kẹo (bao gồm mặt bên và mặt đáy) đều tiếp xúc với kẹo (tham khảo hình vẽ). Biết rằng khối chóp đều có mặt bên tạo với mặt đáy góc \(60^\circ \). Tính thể tích của khối chóp tạo vỏ kẹo bằng bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Đáp án: \(80\).

Quả bóng rơi xuống tại điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right):x + by + cz + d = 0\] đi qua \[O\] nên \[d = 0\], điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\] thuộc \[\left( \alpha  \right)\] nên có \[\sqrt {20}  + 0,5b = 0 \Leftrightarrow b =  - 4\sqrt 5 \].

Mặt khác \[\left( \alpha  \right)\] vuông góc với mặt đất nên \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}}.\overrightarrow k  = 0 \Leftrightarrow c = 0\].

Vậy mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có phương trình là \[\left( \alpha  \right):x - 4\sqrt 5 y = 0\].

Vậy \[T = {b^2} + c + d = 80\].

Đáp án: 36.

Gọi \(n\) là số công nhân đi làm: \(n = 100 - \frac{{x - 40}}{2} = 120 - \frac{x}{2}\);

\(p\) là năng suất lao động: \(p = \frac{{480000}}{{40 \times 100}} - 5 \times \frac{{x - 40}}{2} = 220 - \frac{{5x}}{2}\) \(\left( {0 < x < 88} \right)\).

Số lượng sản phẩm (không có phế phẩm):

\(S\left( x \right) = npx - P\left( x \right) = \left( {120 - \frac{x}{2}} \right)\left( {220 - \frac{{5x}}{2}} \right)x - \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\)

\( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{5}{4}{x^3} - \frac{{1735}}{4}{x^2} + 26370x \Rightarrow S'\left( x \right) = \frac{{15}}{4}{x^2} - \frac{{1735}}{2}x + 26370 = 0 \Rightarrow x = 36\).

Bảng biến thiên:

Vậy để số lượng sản phẩm (không có phế phẩm) thu được là lớn nhất thì nhà máy cần áp dụng mỗi tuần làm việc \(36\) giờ.