Xếp \(9\) chữ số \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\)lên lưới hình vuông \(3 \times 3\) ô như hình vẽ. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho tổng \(3\) số theo hàng dọc và hàng ngang là một số chia hết cho \(3\) (ví dụ minh họa như hình vẽ

 

Đáp án: 5184.

Chia các số đã cho thành 3 nhóm

\(A = \left\{ {3;6;9} \right\}\)

\(B = \left\{ {1;4;7} \right\}\)

\(C = \left\{ {2;5;8} \right\}\)

Có tất cả 3 trường hợp thoả mãn yêu cầu.

Trường hợp 1: Các số trên cùng một hàng ngang thuộc cùng một nhóm.

Xếp ba số của nhóm \(A\) vào hàng thứ nhất rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Xếp ba số của nhóm \(B\) vào hàng thứ hai rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Xếp ba số của nhóm \(C\) vào hàng thứ ba rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Ba nhóm \(A,B,C\) có \(3!\) cách đổi chỗ.

Theo quy tắc nhân, ta có \(3! \times 3! \times 3! \times 3! = 1296\) cách.

Trường hợp 2: Các số trên cùng một hàng dọc thuộc cùng một nhóm.

Tương tự như trường hợp 1 nhưng đổi vai trò của hàng và cột.

Ta cũng có số cách xếp là \(3! \times 3! \times 3! \times 3! = 1296\) cách.

Trường hợp 3: Mỗi hàng ngang và mỗi hàng dọc đều chứa đúng 3 phần tử của 3 nhóm khác nhau

- Bước 1: Xếp vị trí các nhóm. Giả sử kí hiệu A, B, C lần lượt là vị trí để xếp số của nhóm A, B, C.

+ Hàng 1: Có \(3! = 6\) cách xếp các kí hiệu A, B, C vào hàng 1.

+ Ứng với mỗi cách xếp của hàng 1, ta có 2 cách xếp cho hàng 2 và 3.

 Ví dụ: Hàng 1 xếp là A, B, C thì có 2 cách xếp như sau

 Cách 1:

Cách 2:

Vậy có tất cả \(6.2 = 12\) cách xếp cho Bước 1.

Bước 2: Xếp các số của mỗi nhóm vào đúng vị trí của nhóm mình

Có \(3!\) cách xếp các số của nhóm A, \(3!\) cách xếp các số của nhóm B, \(3!\) cách xếp các số của nhóm C.

Vậy Bước 2 có \(3!.3!.3! = 216\) cách xếp.

Vậy Trường hợp 3 có \(12.216 = 2592\) cách xếp.