Theo thống kê tại một nhà máy X, nếu áp dụng tuần làm việc \(40\) giờ thì mỗi tuần có \(100\) công nhân đi làm và làm được \(480\) nghìn sản phẩm. Nếu tăng thời gian làm việc thêm \(2\) giờ mỗi tuần thì sẽ có một công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm \(5\) sản phẩm trên mỗi công nhân trong \(1\) giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P\left( x \right) = \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\) trong đó \(x\) là thời gian làm việc trong một tuần (đơn vị: giờ). Hỏi nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần bao nhiêu giờ để số lượng sản phẩm (không có phế phẩm) thu được là lớn nhất? (giả sử sự thay đổi số lượng công nhân và năng suất tỉ lệ bậc nhất với thời gian làm việc)

Đáp án: 5184.

Chia các số đã cho thành 3 nhóm

\(A = \left\{ {3;6;9} \right\}\)

\(B = \left\{ {1;4;7} \right\}\)

\(C = \left\{ {2;5;8} \right\}\)

Có tất cả 3 trường hợp thoả mãn yêu cầu.

Trường hợp 1: Các số trên cùng một hàng ngang thuộc cùng một nhóm.

Xếp ba số của nhóm \(A\) vào hàng thứ nhất rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Xếp ba số của nhóm \(B\) vào hàng thứ hai rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Xếp ba số của nhóm \(C\) vào hàng thứ ba rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Ba nhóm \(A,B,C\) có \(3!\) cách đổi chỗ.

Theo quy tắc nhân, ta có \(3! \times 3! \times 3! \times 3! = 1296\) cách.

Trường hợp 2: Các số trên cùng một hàng dọc thuộc cùng một nhóm.

Tương tự như trường hợp 1 nhưng đổi vai trò của hàng và cột.

Ta cũng có số cách xếp là \(3! \times 3! \times 3! \times 3! = 1296\) cách.

Trường hợp 3: Mỗi hàng ngang và mỗi hàng dọc đều chứa đúng 3 phần tử của 3 nhóm khác nhau

- Bước 1: Xếp vị trí các nhóm. Giả sử kí hiệu A, B, C lần lượt là vị trí để xếp số của nhóm A, B, C.

+ Hàng 1: Có \(3! = 6\) cách xếp các kí hiệu A, B, C vào hàng 1.

+ Ứng với mỗi cách xếp của hàng 1, ta có 2 cách xếp cho hàng 2 và 3.

 Ví dụ: Hàng 1 xếp là A, B, C thì có 2 cách xếp như sau

 Cách 1:

Cách 2:

Vậy có tất cả \(6.2 = 12\) cách xếp cho Bước 1.

Bước 2: Xếp các số của mỗi nhóm vào đúng vị trí của nhóm mình

Có \(3!\) cách xếp các số của nhóm A, \(3!\) cách xếp các số của nhóm B, \(3!\) cách xếp các số của nhóm C.

Vậy Bước 2 có \(3!.3!.3! = 216\) cách xếp.

Vậy Trường hợp 3 có \(12.216 = 2592\) cách xếp.

Ta có \(M\left( t \right) = \frac{1}{3}a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\)  và do \(M\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\), vậy \(M\left( t \right) = \frac{1}{3}a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\).

Do \(M\left( {10} \right) = 18\) nên \(\frac{1}{3}a{.10^3} + \frac{1}{2}b{.10^2} = 18\quad \left( 1 \right)\).

Do hàm bậc hai \(M'\left( t \right) = a{t^2} + bt\) đạt cực đại tại \(t = 40\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 40\quad \left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2), suy ra \(a =  - \frac{{27}}{{5\;500}};b = \frac{{108}}{{275}}\). Do đó \(M'\left( t \right) =  - \frac{{27}}{{5\;500}}{t^2} + \frac{{108}}{{275}}t\)

Trong tiết học, tức là từ thời điểm \(n = 0\) đến thời điểm \(m = 60\).  Khi đó

\(\frac{{M\left( {60} \right) - M\left( 0 \right)}}{{60 - 0}} = \frac{1}{{60}}\int\limits_0^{60} {M'\left( t \right)dt}  = \frac{1}{{60}}\int\limits_0^{60} {\left( { - \frac{{27}}{{5\;500}}{t^2} + \frac{{108}}{{275}}t} \right)dt}  = \frac{{324}}{{55}} \approx 5,9 < 6\).

a) Khẳng định: Sai.

b) Khẳng định: Sai

c) Khẳng định: Đúng

d) Khẳng định: Đúng