Đất sét là một dạng vật chất đặc và mềm, có thể tạo thành nhiều hình dạng khác nhau nhưng thể tích không đổi. Đầu tiên ta có một cục đất sét với thể tích \[1\,000\;c{m^3}\], người ta nặn thành một khối lập phương đặc, sau đó khoét phần đất sét ở giữa để tạo thành một chậu không nắp (phần trong của chậu có dạng hình hộp chữ nhật) có độ dày bốn mặt bên và độ dày đáy bằng nhau và bằng \[\frac{1}{{10}}\] độ dài cạnh của khối lập phương. Phần đất sét còn dư cũng được nặn thành một khối lập phương đặc và cũng khoét phần đất sét ở giữa để tạo thành một chậu không nắp với tỉ lệ giữa độ dày của các mặt và cạnh khối lập phương như trên. Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi được 5 cái chậu. Tính tổng thể tích nước mà 5 chậu có thể chứa (đơn vị \[c{m^3}\], kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Ta có đạo hàm hàm số \(y = \log x\) là \(y' = \frac{1}{{x\ln 10}}\).

Chọn Đúng.

b) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ là điểm \(O\). Khi đó hoành độ điểm \(B\) là \(0,1\).

Chọn Đúng.

c) Ta có tung độ điểm \(B\) là \({y_B} = \log 0,1 =  - 1\) suy ra tọa độ điểm \(B\left( {0,1; - 1} \right)\).

Do khoảng cách \(AM = 1,4\,m\) suy ra tung độ điểm \(N\) là \({y_N} = 1,4 - 1 = 0,4\).

Chọn Sai.

d) Ta có \({y_N} = \log {x_N} \Leftrightarrow {x_N} = {10^{{y_N}}} = {10^{0,4}}\)

Độ dài giá đỡ bằng \(L = \int\limits_{0,1}^{{{10}^{0,4}}} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{{x\ln 10}}} \right)}^2}} dx \approx 2,97\,m} \).

Chọn Đúng.

Đáp án: 0,38.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 6.4 = 24\).

Ta có:\(I = \int_0^a {{x^b}} dx = \frac{{{x^{b + 1}}}}{{b + 1}}|_0^a = \frac{{{a^{b + 1}}}}{{b + 1}}\)

Để An thắng cuộc thì \(I\) phải là một số nguyên, tương đương với \({a^{b + 1}}\) chia hết cho \(b + 1\).

Vì hộp thứ hai có các thẻ từ \(1\) đến \(4\) nên \(b \in \{ 1;2;3;4\} \). Ta xét lần lượt các trường hợp của \(b\):

Trường hợp 1: Với \(b = 1 \Rightarrow b + 1 = 2\). Ta cần \(\frac{{{a^2}}}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^2} \vdots 2 \Rightarrow a \vdots 2\).

Vì \(a \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \) nên \(a \in \{ 2;4;6\} \) (có \(3\) cách chọn).

Trường hợp 2: Với \(b = 2 \Rightarrow b + 1 = 3\). Ta cần \(\frac{{{a^3}}}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^3} \vdots 3 \Rightarrow a \vdots 3\).

Suy ra \(a \in \{ 3;6\} \) (có \(2\) cách chọn).

Trường hợp 3: Với \(b = 3 \Rightarrow b + 1 = 4\). Ta cần \(\frac{{{a^4}}}{4} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^4} \vdots 4 \Rightarrow a \vdots 2\).

Suy ra \(a \in \{ 2;4;6\} \) (có \(3\) cách chọn).

Trường hợp 4: Với \(b = 4 \Rightarrow b + 1 = 5\). Ta cần \(\frac{{{a^5}}}{5} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^5} \vdots 5 \Rightarrow a \vdots 5\).

Suy ra \(a \in \{ 5\} \) (có \(1\) cách chọn).

Gọi \(A\) là biến cố "An thắng cuộc". Số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n(A) = 3 + 2 + 3 + 1 = 9\).

Xác suất để An thắng cuộc là:\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{9}{{24}} = 0,375\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo yêu cầu bài toán, ta được xác suất là 0,38.