PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

An và Bình rất giỏi Toán, cùng tham gia một trò chơi, đầu tiên An bốc ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ nhất chứa sáu thẻ giống nhau được đánh số từ \(1\) đến \(6\), tiếp theo Bình bốc ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ hai chứa bốn thẻ giống nhau được đánh số từ \(1\) đến \(4\). Gọi số An bốc được là \(a\) và số của Bình là \(b\), sau đó hai người cùng tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^a {{x^b}} dx\). Nếu kết quả \(I\) là một số nguyên thì An thắng, ngược lại Bình thắng. Tính xác suất An thắng cuộc (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,38.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 6.4 = 24\).

Ta có:\(I = \int_0^a {{x^b}} dx = \frac{{{x^{b + 1}}}}{{b + 1}}|_0^a = \frac{{{a^{b + 1}}}}{{b + 1}}\)

Để An thắng cuộc thì \(I\) phải là một số nguyên, tương đương với \({a^{b + 1}}\) chia hết cho \(b + 1\).

Vì hộp thứ hai có các thẻ từ \(1\) đến \(4\) nên \(b \in \{ 1;2;3;4\} \). Ta xét lần lượt các trường hợp của \(b\):

Trường hợp 1: Với \(b = 1 \Rightarrow b + 1 = 2\). Ta cần \(\frac{{{a^2}}}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^2} \vdots 2 \Rightarrow a \vdots 2\).

Vì \(a \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \) nên \(a \in \{ 2;4;6\} \) (có \(3\) cách chọn).

Trường hợp 2: Với \(b = 2 \Rightarrow b + 1 = 3\). Ta cần \(\frac{{{a^3}}}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^3} \vdots 3 \Rightarrow a \vdots 3\).

Suy ra \(a \in \{ 3;6\} \) (có \(2\) cách chọn).

Trường hợp 3: Với \(b = 3 \Rightarrow b + 1 = 4\). Ta cần \(\frac{{{a^4}}}{4} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^4} \vdots 4 \Rightarrow a \vdots 2\).

Suy ra \(a \in \{ 2;4;6\} \) (có \(3\) cách chọn).

Trường hợp 4: Với \(b = 4 \Rightarrow b + 1 = 5\). Ta cần \(\frac{{{a^5}}}{5} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^5} \vdots 5 \Rightarrow a \vdots 5\).

Suy ra \(a \in \{ 5\} \) (có \(1\) cách chọn).

Gọi \(A\) là biến cố "An thắng cuộc". Số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n(A) = 3 + 2 + 3 + 1 = 9\).

Xác suất để An thắng cuộc là:\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{9}{{24}} = 0,375\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo yêu cầu bài toán, ta được xác suất là 0,38.