Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] (đơn vị đo trên các trục là km), một máy bay phản lực đang bay thẳng theo lộ trình \[\Delta \] là đường thẳng có phương trình \[\Delta :\frac{{x - 50}}{3} = \frac{{y + 20}}{{ - 4}} = \frac{{z - 10}}{1}\]. Radar tại trạm kiểm soát không lưu phát hiện một khối mây dông tích điện nguy hiểm có dạng hình cầu \[(S)\] với tâm \[C(200; - 300;60)\] và bán kính \[R = 80{\mkern 1mu} km\]. Tại thời điểm quan sát, máy bay đang ở vị trí \[A(50; - 20;10) \in \Delta \].

Đáp án: 98,1

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).

Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).

Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn  có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).

Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).

Đáp án: 602

Tổng doanh thu: \(F\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000\).

Tổng chi phí sản xuất (điện, lương.): \(x \cdot G\left( x \right) = x\left( {0,0002{x^2} + \frac{{40000}}{x}} \right) = 0,0002{x^3} + 40000\)

Chi phí nguyên vật liệu sau khi giảm giá 2%:

\(0,98 \cdot H\left( x \right) = \frac{{49}}{{50}}\left( { - \frac{4}{{49}}{x^2} + \frac{{750}}{{49}}x + \frac{{1500000}}{{49}}} \right) =  - 0,08{x^2} + 15x + 30000\)

Tổng chi phí \(C\left( x \right)\):

\(C\left( x \right) = \left( {0,0002{x^3} + 40000} \right) + \left( { - 0,08{x^2} + 15x + 30000} \right) = 0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000\)

Lợi nhuận \(P\left( x \right)\):\(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)

\(P\left( x \right) = \left( { - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000} \right) - \left( {0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000} \right)\)

\(P\left( x \right) =  - 0,0012{x^3} + 0,68{x^2} + 485x + 30000\)

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P\left( x \right)\) trên khoảng \(100 \le x \le 800\).

\(P\prime \left( x \right) =  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485\)

Giải phương trình \(P\prime \left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485 = 0\)

Nghiệm dương: \(x \approx 601,6857 \approx 602\)

Bảng biến thiên

Doanh nghiệp cần sản xuất \(602\) sản phẩm trong một tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất.