Cho một hình bát giác đều \(ABCD.EFGH\) nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\) như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên \(\left\{ {9;\,10;\,11;\,12;\,13;\,14;\,15;\,16} \right\}\) vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là \(\frac{m}{n}\,\) (\(m,\,n \in {\mathbb{N}^*};\,\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(m + \,n\) bằng bao nhiêu?

a) Đúng

Ta có:

\[y'\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}y\left( x \right) \Rightarrow \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - {7.10^{ - 4}}\]

Do đó: \[f'\left( x \right) = {\left( {\ln y\left( x \right)} \right)^\prime } = \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - {7.10^{ - 4}}\].

b) Đúng

Ta có: \[f'\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}} \Rightarrow f\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}x + C\]

Mà: \[f\left( 0 \right) = \ln y\left( 0 \right) = \ln \left( {0,05} \right) \Rightarrow C = \ln \left( {0,05} \right)\]

Vậy \[f\left( x \right) =  - {7.10^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)\].

c) Sai

Ta có: \[f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) \Rightarrow y\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)}} = 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}\]

Do đó: \[y\left( {30} \right) - y\left( {15} \right) = 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - 0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}} \approx  - {5,2.10^{ - 4}}\].

d) Sai

Nồng độ trung bình của chất gây bọt trong khoảng thời gian từ giây thứ 20 đến giây thứ 30 là:

\[\overline y  = \frac{1}{{30 - 20}}\int\limits_{20}^{30} {0,05.{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{\rm{d}}x}  \approx 0,05\] (mol/L).

Đáp án: 602

Tổng doanh thu: \(F\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000\).

Tổng chi phí sản xuất (điện, lương.): \(x \cdot G\left( x \right) = x\left( {0,0002{x^2} + \frac{{40000}}{x}} \right) = 0,0002{x^3} + 40000\)

Chi phí nguyên vật liệu sau khi giảm giá 2%:

\(0,98 \cdot H\left( x \right) = \frac{{49}}{{50}}\left( { - \frac{4}{{49}}{x^2} + \frac{{750}}{{49}}x + \frac{{1500000}}{{49}}} \right) =  - 0,08{x^2} + 15x + 30000\)

Tổng chi phí \(C\left( x \right)\):

\(C\left( x \right) = \left( {0,0002{x^3} + 40000} \right) + \left( { - 0,08{x^2} + 15x + 30000} \right) = 0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000\)

Lợi nhuận \(P\left( x \right)\):\(P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)\)

\(P\left( x \right) = \left( { - 0,001{x^3} + 0,6{x^2} + 500x + 100000} \right) - \left( {0,0002{x^3} - 0,08{x^2} + 15x + 70000} \right)\)

\(P\left( x \right) =  - 0,0012{x^3} + 0,68{x^2} + 485x + 30000\)

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P\left( x \right)\) trên khoảng \(100 \le x \le 800\).

\(P\prime \left( x \right) =  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485\)

Giải phương trình \(P\prime \left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 0,0036{x^2} + 1,36x + 485 = 0\)

Nghiệm dương: \(x \approx 601,6857 \approx 602\)

Bảng biến thiên

Doanh nghiệp cần sản xuất \(602\) sản phẩm trong một tháng để đạt lợi nhuận lớn nhất.