Cho một hình bát giác đều \(ABCD.EFGH\) nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\) như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên \(\left\{ {9;\,10;\,11;\,12;\,13;\,14;\,15;\,16} \right\}\) vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là \(\frac{m}{n}\,\) (\(m,\,n \in {\mathbb{N}^*};\,\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(m + \,n\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 98,1

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Ta có phương trình đường tròn tâm \(N\) bán kính bằng \(2\,{\rm{cm}}\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).

Suy ra phương trình cung tròn \(AIB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn \(IB\); trục hoành, \(x = 2;x = 4\) quanh trục hoành là \({V_1} = \pi \int\limits_2^4 {\left[ {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx = \frac{{16\pi }}{3}} \).

Ta có điểm \(I\)có tọa độ \(\left( {2;2} \right)\).

Ta có phương trình đường tròn tâm \(M\left( {0;2} \right)\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) suy ra cung tròn  có phương trình là \(y = 2 + \sqrt {4 - {x^2}} \).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn ; trục hoành; \(x = 0;x = 2\) quanh trục hoành là \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \right]}^2}dx} \).

Thể tích của vật thể \(\left( {H1} \right)\) bằng \({V_1} + {V_2} \approx 98,1\).

a) Sai.

Số bút trong hộp An có 5 xanh và 5 đen. Xác suất lấy được bút xanh là:

\(P = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

b) Đúng.

Sau khi An bỏ 1 bút vào, hộp Bình có 11 chiếc (trong đó có 1 chiếc của An).

Xác suất để Bình bốc trúng chiếc bút vừa được thêm vào đó là:

\(P = \frac{1}{{11}}\)

c) Đúng.

Ta dùng công thức xác suất đầy đủ. Gọi \(B\) là biến cố "Bình lấy được bút xanh".

 Trường hợp 1: An bỏ bút xanh vào hộp Bình \[P\left( X \right){\rm{ }} = \frac{1}{2}\]. Lúc này hộp Bình có \[7\]bút xanh trên tổng 11 bút. \[P(B|X) = \frac{7}{{11}}\]

 Trường hợp 2: An bỏ bút đen vào hộp Bình \[P(\bar X) = \frac{1}{2}\]. Lúc này hộp Bình vẫn chỉ có 6 bút xanh trên tổng 11 bút. \[P(B|\bar X) = \frac{6}{{11}}\]

Xác suất để Bình lấy được bút xanh là:

\[P(B) = P(X) \cdot P(B|X) + P(\bar X) \cdot P(B|\bar X) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\]

d) Đúng.

Tìm \[P({\rm{B\'u t An}}|B)\]

Gọi \[{A_x}\] là biến cố "Bình lấy được chiếc bút xanh mà chiếc đó là của An".

Điều này chỉ xảy ra khi An bỏ bút xanh vào (X) VÀ Bình bốc đúng chiếc đó.

\[P({A_x}) = P(X) \cdot \frac{1}{{11}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{11}} = \frac{1}{{22}}\]

Xác suất cần tìm:

\(P = \frac{{P({A_x})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{{22}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}\)